Trabalho

Resolução da 2ª lista de Exercícios de Algebra Linear

1)

A )Se W+U=W+V então U=V

A idéia é desenvolver ambos os membros da igualdade para se chegar ao resultado esperado (U=V), ou seja:

Dem.:

W+U=W+V [Soma (–w) a ambos os membros]
( W+U )+( -W )=( W+V )+( -W )
( -W )+( W+U )=( -W )+( W+V )
(( -W )+W )+U=(( -W )+W )+V
( W-W )+U=( W-W )+V
0+U=0+V
U=V

Então podemos concluir que se W+U=W+V então U=V

B )Se W+U=W, então U=0

A idéia é desenvolver ambos os membros da igualdade para se chegar ao resultado esperado (U=0), ou seja:

Dem.:

W+U=W [Soma (–W) a ambos os membros]
( W+U )+( -W )=W+( -W )
( -W )+( W+U )=( -W )+W
(( -W )+W )+U=W-W
( W-W )+U=0
0+U=0
U=0

Então podemos concluir que se W+U=W, então U=0

C )Se W+U=0, então W=-U

A idéia é desenvolver ambos os membros da igualdade para se chegar ao resultado esperado (W=-U), ou seja:

Dem.:

W+U=0 [Soma (-U) a ambos os membros]
( W+U )+( -U )=0+( -U )
(-U)+( W+U )= -U+0
(-U )+( U+W )= -U
(( -U )+U )+W=-U
( U-U )+W=-u
0+W=-U
W=-U

Então podemos concluir que se W+U=0, então W=-U

D ) Para 0∈R, tem-se 0.V=0 ∈ E

A idéia é iniciar em um membro e chegar ao outro, ou seja:

0.v=0 = (0+0).v = 0.v + 0.v [Subtrai (-0.v) de ambos os membros]
0.v +(-0.v) = (0+0).v+(-0.v) = 0.v+0.v+(-0.v)
0.v-0.v= -0.v+0v=0.v+0.v-0.v
0=0.v

Portanto Para 0∈R, tem-se 0.V=0 ∈ E

Vale a pena lembrar que se temos um K.V=0 => k=0 ou V=0

E ) Para 0∈E, tem-se 0. & =0 ∈ E

A idéia é iniciar em um membro e chegar ao outro, ou seja:

0. &=0 => (0+0). & = 0. & + 0. & [Subtrai (-0. &) de ambos os membros]
0. & +(-0. &) = (0+0). &+(-0. &) = 0. &+0. &+(-0. &)
0. &-0. &= -0. &+0&=0. &+0. &-0. &
0=0. &

Portanto Para 0∈E, tem-se 0. &=0 ∈ E

F ) Idéia: Queremos provar que se & e V é diferente de 0 então &.V é diferente de zero, para isso devemos atentar que se & ou V for igual a zero, então &.V será igual a zero, ou seja, se & nem V for igual a zero então logicamente &.V≠0