Trabalho

A CONSTRUÇÃO DE CÔNICAS E
O TEOREMA DE PASCAL
Lenimar Nunes de Andrade
UFPB – João Pessoa, PB
Introdução
As curvas planas conhecidas como cônicas são estudadas desde a antigüidade e podem ser obtidas como interseção de um cone circular reto com um plano. Elas têm propriedades geométricas notáveis, algumas delas relacionadas com fenômenos físicos, com órbitas dos planetas em torno do Sol ou com trajetórias de projéteis, entre outras ([1] e [2]).
Um dos axiomas da Geometria euclidiana afirma que “dois pontos distintos determinam uma única reta”. Uma afirmação análoga para circunferências seria: “três pontos não colineares determinam uma única circunferência”. Este artigo é sobre a quantidade mínima de pontos necessária para determinar, de forma única, uma cônica e sobre sua construção geométrica.
Determinando quantos pontos definem uma cônica
Sabemos do estudo da Geometria Analítica plana que a equação de uma reta é da forma ax + by + c = 0 , onde a ≠ 0 ou b ≠ 0 . Dividindo essa equação por a ou por b, temos que qualquer reta no plano tem equação da forma x + Ay + B = 0 ou da forma
Ax + y + B = 0 .
Conhecidos dois pontos distintos da reta, basta substituir esses pontos em uma dessas duas equações para se obter um sistema linear 2 × 2 , cuja resolução fornece os valores de A e B. Dessa forma, verificamos analiticamente que dois pontos distintos determinam uma única reta.
Analogamente, a partir da equação geral de uma cônica (ver [3],[5]),
Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 , onde A ≠ 0 ou B ≠ 0 ou C ≠ 0 , é possível provar que dados cinco pontos quaisquer do plano existe uma única cônica determinada por eles. Não é nosso objetivo e não faremos a demonstração desse resultado aqui.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 45, 2001

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No que segue, vamos supor que nos cinco pontos dados não existam três alinhados, mas vale ressaltar que o teorema de Pascal, enunciado a seguir, é válido para qualquer cônica definida pela equação