trabalho integral dupla massa e centro de massa

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

MARCOS FRANCISCO DE FARIAS

CÁLCULO DA MASSA E CENTRO DE MASSA DE UMA LÂMINA

PALHOÇA
2014

Introdução

O Cálculo Integral é um ramo importante da matemática, Desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades, onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração. O cálculo é a matemática a ser empregada.
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas, guiando-se em seguimentos distintos como também unindo outros
Iremos mostrar uma pequena aplicação do cálculo de integral dupla, na qual iremos utiliza-la para calcular a massa e o centro de massa de uma lâmina.

Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x,y) em D é dada por (x,y), onde  é uma função contínua sobre D. Então a massa total m da lâmina é dada por:

Além disso, o centro de massa dessa lâmina é o ponto (X,Y), onde e , sendo e os momentos em relação aos eixos x e y, respectivamente.

Exemplo: Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y.

Solução:
O triângulo D está limitado pelas retas x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x.. Podemos expressar D por:
D = { (x,y) | 0  x  1, 0  y  2 – 2x }

A massa da lâmina é:

Portanto:

Os momentos são:

Assim:

,

Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16), indicado na figura:

Conclusão

Podemos então, com o auxilio da integral dupla, calcular a massa e o centro da massa de um objeto, bem como varias outras aplicações.
Neste caso a massa total da lamina, é a soma das massas elementares e se representarmos por Cm (x,y) o centro de massa da lamina D, o ponto que concentra toda massa da placa,