trabalho faculdade

André Gustavo

ÁLGEBRA LINEAR
LISTA DE EXERCÍCIOS A
2 º S EMESTRE

André Gustavo
Definições
1) Espaços Vetoriais: Seja V um conjunto, não vazio, cujos elementos chamaremos de vetores. Considere u, v  V e   . Se nesse conjunto estiverem definidas as operações de adição u + v  V e multiplicação por escalar u  V. Sendo verdadeiras as seguintes propriedades:
1) u + (v + w) = (u + v) + w,  u, v e w  V
2) u + v = v + u,  u, v  V
3)  0 V; 0 + u=u,  u V
4)  -u V; u + (-u) = 0,  u  V
5) ( )u = ( u),  u  V e  ,   
6) (u + v) = u + v,  u, v  V e    
7) ( +  )u = u + u,  u  V e  ,   
8) 1.u = u,  u  V
Então V é um espaço vetorial real.
2) Subespaços Vetoriais: Seja V um espaço vetorial sobre  . Considere W um subconjunto de V.
Dizemos que W é subespaço vetorial de V se, e somente se:
i) 0  V ii)  u, v  V  u + v  V iii)  u  V e     u  V.
3) Combinação Linear: Seja V um espaço vetorial sobre , e consideremos um subconjunto finito W de vetores do espaço vetorial W = {w1,w2,...,wn}, o vetor v é uma combinação linear dos vetores de W se existirem os escalares a1, a2,...,an tais que: v = a1w1+ a2w2 +...+ wnan.
4) Subespaço Gerado e Geradores de um Subespaço Vetorial: Seja V um espaço vetorial sobre .
Considere v1, v2,...,vn  V e a1, a2,...,an  . Então o conjunto
W = {v  V / v = a1v1 + a2v2 +...+ anvn} de todas as combinações lineares de v1, v2,...,vn é um subespaço vetorial de V. O conjunto W é chamado de subespaço gerado por [v1, v2,...,vn]. Os vetores v1, v2,...,vn são chamados de geradores de W.
6) Dependência e Independência Linear: Dado n vetores v1 , v2 , vn com n ≥ 1, dizemos que os mesmos são linearmente dependentes (LD), quando a combinação linear deles é nula, havendo pelo menos um dos escalares ai  0. Ou seja: a1v1 + a2v2 +...+ anvn = 0; ai  0. quando a combinação linear deles é nula, sendo todos os escalares a i  0 , dizemos que os mesmos são
linearmente