trabalho do teorema chinês do resto

Teorema Chinês do Resto

Dielme Ramos Gomes; 1º ano ciência da computação - 2014.

Presidente Prudente
2014

SUMÁRIO

1 – DESENVOLVIMENTO..................................................................................................................

1.1 – Teorema Chinês do Resto...............................................................................................

1.1.2 – Demonstração..............................................................................................................

2 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS.......................................................................................

1.1 Teorema Chinês do Resto

Começamos com um exemplo simples que está na origem do resultado que vamos apresentar:

Exemplo 0.1 Um camponês tem certo número de ovos; quando os divide por 3, sobra-lhe 1; quando os divide por 4, sobram 2 ovos; e quando os divide por 5, sobram 3. Quantos ovos tem o camponês?
O que queremos aqui é a solução simultânea de um sistema de equações modulares.

Começando pela primeira equação, temos que qualquer solução x do sistema tem que satisfazer.

para algum y ∈ Z; substituindo na segunda equação ficamos com

e, portanto, onde, mais uma vez, z representa uma nova incógnita inteira; substituindo de novo na terceira equação.

Concluímos que e, portanto a solução do nosso sistema é.

A resposta à pergunta é, portanto que o camponês poderia ter 58 ovos ou 118 ou 178, etc.

Que é a solução do sistema, só fica determinado módulo 60, é evidente, uma vez que se x for solução qualquer inteiro da forma também seria solução. Por outro lado, se e forem duas soluções do sistema, então será divisível por 3, por 4 e por 5, e como estes são primos dois a dois, tem que ser divisível pelo seu produto 60.