trabalho de um campo ao longo de um caminho

Cálculo 3
O trabalho de um campo ao longo de um caminho
21/11/2013

1. Trabalho
Em física, o trabalho é uma medida de energia transferida pela aplicação de uma força ao longo de um deslocamento. O trabalho de uma força aplicada ao longo de um caminho que pode ser calculada pela seguinte integral de linha:

(1)
Como a equação acima, a existência de uma força não é sinônimo de realização de trabalho. Para que o trabalho aconteça, é necessário que haja deslocamento do ponto de aplicação da força e que haja uma componente não nula da força na direcção do deslocamento.
Portanto, para que haja trabalho precisamos de:
• Deslocamento;
• Força na direção do deslocamento.

2. Campos
Se U ⊂ Rm , uma função F : U ! Rn é dita um campo vetorial. Na maioria das vezes, nos exemplos, n = m. Exemplos consideráveis sobre campo vetorial são o campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas, o campo gravitacional de uma distribuição de material, o campo de velocidades para partículas atmosféricas. Mas se pensarmos por exemplo, na temperatura atmosférica como função da posição, não teremos mais um campo vetorial, e sim um campo escalar, pelo fato da temperature não ser um vetor.
Para entendemos melhor o campo escalar, temos que decompor um campo vetorial:

(2)
O campo F sera contínuo se, e somente se, seus componetentes forem contínuos. Do mesmo modo, o campo F é diferenciável se, e somente se, suas funções são diferenciáveis. E para uma funcão f : U ! R, diferenciável você pode definir o vetor gradiente desta função:

(3)
Após isso, temos que: dado um campo escalar diferenciável, seu gradiente define um campo vetorial.
Para incluir campo conservativo, temos que um campo F é conservative quando existe uma função ϕ tal que

(4)

2

2. Integral de Linha
Por definição a integral de linha é a integral onde a função a ser integrada é calculada ao longo de uma curva, e pode ser um campo escalar ou um campo vetorial.
Neste trabalho vamos