Trabalho de Cálculo

CAPÍTULO 4.
APLICAÇÕES DA DERIVADA
INTRODUÇÃO
As derivadas são utilizadas para obter detalhes importantes sobre valores funcionais f(x) quando x varia em um intervalo. Tais dados nos permitirão traçar o gráfico de uma função e descrever com precisão onde ele cresce ou decresce – algo que em geral não pode ser obtido com os métodos do pré-cálculo. A determinação desses valores extremos desempenha papel relevante em aplicações que envolvem tempo, temperatura, volume, pressão, consumo de gasolina, poluição do ar, lucros em negócios, despesas de uma companhia e, de modo geral, qualquer quantidade que possa ser representada por uma função.

4.1 EXTREMOS DAS FUNÇÕES
Suponhamos que o gráfico da Figura 4.1 tenha sido feito por um instrumento registrado que mede a variação de uma quantidade física. O eixo-x representa o tempo e o eixo-y representa mensurações tais como temperatura, resistência em um circuito elétrico, pressão sanguínea de um indivíduo, quantidade de um produto químico em uma solução, ou contagem de bactérias em uma cultura.

Espaço da figura 4.1

O gráfico indica que a quantidade aumentou no intervalo de tempo [a, c₁, c₂], aumentou no intervalo de tempo [a, c₁,], decresceu em [c₁, c₂], aumentou em [c₂, c₃], decresceu em [c₃, c₄], e assim por diante. Restringindo-nos ao intervalo [c₁, c₄], vemos que a quantidade toma seu maior valor (ou máximo) em c₃ e seu menor valor (ou mínimo) em c₂. Em outros intervalos verificam-se diferentes valores máximos e mínimos. Em todo o intervalo [a, b], o máximo ocorre em c₅ e o mínimo em a.
Definição (4.1) Seja uma função f definida em um intervalo I, e sejam x₁ e x₂ números em I.
(i) f é crescente em I se f (x₁) ‹ f(x₂) quando x₁ ‹ x₂
(ii) f é decrescente em I se f (x₁) › f(x₂) quando x₁ ‹ x₂
(iii) f é constante em I se f (x₁) = f(x₂) para todos x₁ e x₂

A Figura 4.2 apresenta ilustrações da Definição (4.1).

Se uma função é decrescente, seu gráfico cai quando x cresce. Se a figura