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UNIPAR - Universidade Paranaense
Engenharia Civil Turma

Pesquisa: Superfícies Quadráticas, Superfícies Cônicas, Superfícies Cilíndricas, Elipsoides, Elipsoides e Paraboloides

Francisco Beltrão
2014

Superfícies Quadráticas
A equação geral do segundo grau nas três variáveis x, y, e z:
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Onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente de zero, representa uma superfície quadrática.
Observemos que se a superfície quadrática dada pela equação for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção sera uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamado “traço” da superfície no plano.
Por exemplo, o traço da quadrática no plano z sendo igual a 0, é a cônica , contida no plano xOy.
Por outro lado, através de mudanças de coordenadas, a equação pode ser transformada na seguinte forma, onde a equação representa uma quadrática centrada.
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Superfícies Quadráticas Centradas
Se nenhum dos coeficientes da equação apresentada anteriormente, for nulo, ela pode ser escrita com uma das formas:

denominadas forma canônica ou padrão de uma superfície quadrática centrada.
As combinações de sinais permitem concluir a existência de três tipos de superfícies, conforme sejam três, dois ou um o numero de coeficientes positivos dos termos do 1º membro da equação. Se todos os coeficientes forem negativos, não existem lugares geométricos.

Superfícies Cônicas
Sejam duas retas “e” e “r” concorrentes em 0 e não perpendiculares. Conservemos fixa a reta “e” e façamos “r” girar 360° em torno de “e” mantendo constante o ângulo entre as retas. Nestas condições, a reta “r” gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O.
A retas “r” chamada “geratriz” da superfície cônica e a reta “e”, eixo da superfície.
Chama-se “seção” cônica ao conjunto de pontos que formam a interseção de um plano com a superfície cônica.
Superfície cônica: