Trab Amortecedor Netalianne

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
ELÉTRICA

NETALIANNE M. F. HERINGER

TÉCNICAS DE MODELAGEM E CONTROLE
APLICADOS A SISTEMAS LINEARES 2015
SIMULAÇÃO DE SISTEMA DE SUSPENSÃO

VITÓRIA – ES
MARÇO/2015

Dado o sistema apresentado na Figura 1 foi proposta sua modelagem, considerando
M1=2500kg, M2=320kg, K1=80.000N.m e K2=500.000N.m b1=350N.m/s, b2=15020N.m/s. A entrada do Sistema sendo um degrau, de distúrbio W com amplitude 0.1m.

Figura 1 - Sistema de suspensão

Pelas leis de Newton, baseado no sistema acima descrito, obtemos as equações que se seguem: 𝑀1𝑋1̈ = −𝑏1(𝑋1̇ − 𝑋2̇) − 𝐾1(𝑋1 − 𝑋2)
𝑀2𝑋2̈ = 𝑏1(𝑋1̇ − 𝑋2̇) − 𝐾1(𝑋1 − 𝑋2) + 𝑏2(𝑊̇ − 𝑋2̇) + 𝐾2(𝑊 − 𝑋2)
Aplicando Laplace, temos:
𝑠 2 𝑀1𝑋1 = −𝑠1 𝑏1(𝑋1 − 𝑋2) − 𝐾1(𝑋1 − 𝑋2)
𝑠 2 𝑀2𝑋2 = 𝑠 2 𝑏1(𝑋1 − 𝑋2) − 𝐾1(𝑋1 − 𝑋2) + 𝑠𝑏2(𝑊 − 𝑋2) + 𝐾2(𝑊 − 𝑋2)
Podemos escrever o sistema de forma matricial, da seguinte maneira:
𝑠 2 𝑀1 + 𝑠1 𝑏1 + 𝑘1
[
−(𝑠1 𝑏1 + 𝐾1)

−(𝑠1 𝑏1 + 𝐾1)
0
𝑋1
] [ ]= [
]
2
1
1
(𝑠𝑏2
+
𝐾2
)𝑊(𝑠)
𝑋2
𝑠 𝑀2 + 𝑠 𝑏1 + 𝑠 𝑏2 + 𝑘1 + 𝑘2

Observe que ao multiplicar a inversa de A pela esquerda em ambos os lados do sistema matricial montado, podemos encontraro valor das variáveis de estado X1 e X2:
𝐴−1 𝐴 𝑋 = 𝐴−1 𝐵
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
A matriz A pode ser invertida utilizando a matriz adjunta de A eu chamaremos de AdjA da seguinte maneira:
𝐴−1 =
Onde :

1
(𝐴𝑑𝑗𝐴)
∆

𝐴𝑑𝑗𝐴 = 𝐶 𝑡
∆ é 𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴
Onde C é a matriz dos cofatores de A.
Para o sistema dado então, a matriz dos cofatores é dado por:
2
1
+ 𝑠1 𝑏2 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐶 = [𝑠 𝑀2 + 𝑠 𝑏1
1
𝑠 𝑏1 + 𝐾1

𝑠1 𝑏1 + 𝐾1
]
𝑠 𝑀1 + 𝑠1 𝑏1 + 𝑘1
2

Desta forma temos a matriz adjunta:
2
1
+ 𝑠1 𝑏2 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐴𝑑𝑗𝐴 = [𝑠 𝑀2 + 𝑠 𝑏1
𝑠1 𝑏1 + 𝐾1

𝑠1 𝑏1 + 𝐾1
]
𝑠 2 𝑀1 + 𝑠1 𝑏1 + 𝑘1

Logo, definimos a matriz 𝐴−1 como:
𝐴−1 =

1 𝑠 2 𝑀2 + 𝑠1 𝑏1 + 𝑠1 𝑏2 + 𝑘1 + 𝑘2
𝑠1 𝑏1 + 𝐾1
[
]
∆
𝑠1 𝑏1 + 𝐾1
𝑠 2 𝑀1 +