Topologia

Universidade do Sul de Santa Catarina – Unisul
Campus Virtual

Atividade de Avaliação a Distância 1

Disciplina: Topologia
Curso:MATEMÁTICA
Professor:
Nome do aluno:
Data:

Orientações:
Procure o professor sempre que tiver dúvidas.
Entregue a atividade no prazo estipulado.
Esta atividade é obrigatória e fará parte da sua média final.
Encaminhe a atividade via Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA).

Questão 1: Os itens abaixo são referentes ao conceito de métrica que você estudou na seção 1 do seu livro didático. (3,0 pontos)

(a) Seja um espaço métrico. Mostre que para é um espaço métrico.
R:
Como (M,d) é um espaço métrico, temos que d é uma métrica e obedece as seguintes propriedades:

M1 d(x,y) ≥ 0 e d(x,y) = 0 ⇔ x = y
M2 d(x,y) = d(y,x)
M3 d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

Agora a partir destas três propriedades devemos provar o mesmo para :

M1) e
De fato , pois por M1 e temos que k>0. Do mesmo modo, , isto quer dizer que, , como e d é métrica, segue que , então k.d(x,y)=0. E então provamos que .

M2)

De fato,

Note que o segundo sinal de igual é verdadeiro, pois d é uma métrica e portanto satisfaz M2)

M3)

Anulando k em ambos os lados, temos:

Logo, vale M3.
Como satisfaz M1, M2 e M3, segue que é uma métrica.

(b) Dê um contra-exemplo que para mostrar que não é uma métrica no .

(c) Seja e a métrica usual e Considere os conjuntos e . Determine o diâmetro de A e B com relação as métricas d e .

R: o diâmetro de A e B em relação a d:

O limite superior de B é 1, pois quando n tende ao infinito B tende a zero, logo o limite superior de B é 1, portanto o diâmetro de B é:

R: o diâmetro de A e B em relação a d1:

O limite superior de B é 1, pois quando n tende ao infinito B tende a zero, logo o limite superior de B é 1, portanto o diâmetro de B é:

Questão 2: Seja o conjunto , primeiramente esboce este conjunto e em seguida determine: (2,0 pontos).
R:

(a)

(b)

(c)

(d) A é um conjunto aberto?