Topicos de matematica apliacda

Tópicos de Matemática Aplicada para os cursos de Engenharia

Eurípedes Machado Rodrigues

MATRIZES 1. Definição Matriz é uma função que associa pares ordenados (i, j) a números reais aij. No entanto, podemos dar uma noção intuitiva como sendo uma tabela, ou seja: Matriz de ordem m x n (lê-se: m por n) é uma tabela de m . n número reais, dispostos, ordenadamente, em m linhas (horizontais) e n colunas (verticais). Podemos nomear uma matriz por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Assim, Am x n é a matriz A de ordem m x n. Os elementos aij de uma matriz são dispostos, ordenadamente, em linha de ordem i e coluna de ordem j, cercados por: ( ) ou [ ] ou || ||.

Exemplo:

 a11 a12 ...   a21 a22 ... A=   a  m1 am2 ...

a1n   a2n   ou  amn   a11 a21 a12 a22 ... ... a1n a2n

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 a11 a12 ... a a22 ... 21 A=    am1 am2 ... 

a1n  a2n   ou ainda,   amn  

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am1 am2 ...

a11 representa o elemento da 1ª linha (horizontal) e 1ª coluna (vertical); a12 representa o elemento da 1ª linha (horizontal) e 2ª coluna (vertical); a1n representa o elemento da 1ª linha (horizontal) e nª coluna (vertical); a21 representa o elemento da 2ª linha (horizontal) e 1ª coluna (vertical); e assim, por diante. Deste modo, podemos representar a matriz A por: A = (aij)m x n 2. Notação: a) Explícita – Os elementos são identificados diretamente na matriz. Exemplo: A =  

1 3 2   0 − 1 4  

A é uma matriz de ordem 2 x 3 onde: a11 = 1, a12 = 3, a13 = 2, a21 = 0, a22 = −1 e a23 = 4, todos obtidos aleatoriamente como exemplo. b) Implícita – Os elementos são determinados por uma propriedade característica dos mesmos. Essa propriedade recebe o nome de Lei de formação, que nada mais é do que uma expressão matemática que determina o valor de cada elemento da matriz. Exemplo: A = (aij)2 x 3 , tal que aij = 2i + j, ∀i ∈ {1; 2} e ∀j ∈ {1; 2; 3} Temos: A =  

 a11 a12  a21 a22

a13   a23  

Os