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LISTA N0 3 - CM041 - C´ alculo I - Eng. Mecˆ anica & Matem´ atica Industrial - 2015
Profa. Ana Gabriela
Fun¸c˜oes de uma vari´avel real, continuidade e diferenciabilidade

1. O Teorema de Bolzano afirma que se f ; [a, b] → R ´e cont´ınua e f (a)f (b) < 0 ent˜ao existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Use o teorema para mostrar que as seguintes equa¸co˜es possuem solu¸ca˜o no intervalo indicado.
(a) x3 + x2 − 7x + 1 = 0, no intervalo (0, 1).
(b) x2 = x sin x + cos x, no intervalo (0, π).
2. A fun¸ca˜o tan x toma valores com sinal diferente nos extremos do intervalo [π/4, 3π/4], por´em n˜ao se anula nesse intervalo. Isto contradiz o teorema de Bolzano?
3. Mostre que os gr´aficos das fun¸c˜oes ln x e e−x se cortam em alg´ um ponto. Estime esse valor.
4. O teorema de Weierstrass afirma que toda fun¸ca˜o cont´ınua definida em um intervalo fechado e
1
. limitado atinge seu maior e menor valor. Considere a fun¸ca˜o f (x) = x−1 (a) f ´e cont´ınua no intervalo (1, 2]?
(b) f ´e limitada nesse intervalo?
(c) Possui f algum m´aximo o m´ınimo absoluto nesse intervalo? Contradiz isto o teorema de
Weierstrass?
5. Dˆe um exemplo de uma fun¸ca˜o que tenha uma descontinuidade evit´avel em x = 0, uma descontinuidade de salto infinito em x = 1 e que seja cont´ınua em R − {0, 1}.
6. Calcule, usando a defini¸ca˜o, as derivadas das seguintes fun¸c˜oes nos pontos indicados:
(a) f (x) = x2 , em x = 3,

(b) g(x) = sin x em x = a.

7. Determine o valor da derivada da fun¸c˜ao nos pontos indicados no gr´afico:

8. Use as regras de deriva¸c˜ao para calcular as derivadas das seguintes fun¸co˜es:
2x
(a) f (x) = 3x2 + cos x (b) f (x) = 4
, (c) f (x) = x2 ex . x +x+1

9. Determine se as seguintes fun¸c˜oes s˜ao deriv´aveis na origem:
1
x2 sin( ), se x = 0,
(b) g(x) = |x|x3 .
(a) f (x) = x 0 se x = 0,
10. Represente graficamente as fun¸co˜es f (x) = x2 e sua derivadaf (x) = 2x. Que ocorre com a fun¸c˜ao f quando sua derivada ´e negativa? e quando positiva? que ocorre com a fun¸c˜ao f quando o