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Geometria Analítica, Hipérbole
Hipérbole de centro na origem (0,0)
1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c  0, denomina-sehipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a  c.
Assim é que temos por definição:
 PF1 - PF2  = 2 a

Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida comdistancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole.
Como, por definição, a  c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B1B2é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação: c2 = a2 + b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.
2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0)

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c  a, como vimos acima, podemos escrever:
 PF1 - PF2  = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a: b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado na figura acima.
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS
1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 =