Teste

Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Estatística e Informática
Disciplina: Matemática Discreta
Professor: Pablo Azevedo Sampaio

Aluno: _____________________________________________

2ª Verificação de Aprendizagem

1) Prove que o quadrado de todo inteiro pode ser expresso na forma 3k ou na forma 3k+1, para algum k inteiro. Ou seja, prove que “para todo inteiro n, temos: n2=3k para algum k inteiro, ou n2=3k+1 para algum k inteiro”. (Dica: considere os possíveis casos da divisão de n por 3, usando o teorema “Algoritmo da Divisão”). (2,0)

2) Considere a função f : Z+ ( Z definida abaixo. f(1) = 3 f(n) = 3.f(n-1) Prove por indução que g(n)=3n é uma forma fechada de f no domínio Z+. Ou seja, prove que, para todo n inteiro positivo, f(n)=g(n). (2,0).

3) Prove que esta função é injetiva k: Z→Z tal que k(x) = x3. (2,0)

4) Refute a afirmação de que esta função é injetiva j: Z→Z, com j(x) = x2. (1,5)

5) Considere os conjuntos A={1,2,3,4} e B={10,11,12,13,14}. Defina funções com seguintes propriedades, se for possível, ou diga que não é possível (1,0): a) Uma função f: A→B tal que f seja injetiva e não-sobrejetiva. b) Uma função g: B→A tal que g seja injetiva e não-sobrejetiva. c) Uma função h: B→A tal que h seja bijetiva. d) Uma função k: A→B tal que k seja não-injetiva e não-sobrejetiva.

6) Prove por indução que 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2. Ou seja, prove a seguinte fórmula fechada para o somatório: (1,5)
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Boa