Teoria - Interpolação Polinomial

Interpolação Polinomial
Procedimento número que encontra polinômios de ordem n, para prever comportamentos de funções f(x) desconhecidas ou funções f(x) com as leis de formação muito complicadas, as quais necessitam de outra função mais fácil para a resolução do sistema.
Em geral, podemos supor que x1≤ x2...≤xn. O problema central da interpolação é determinar um valor aproximado para f(x) quando xϵ[x1, xn]. O primeiro passo é aproximar f(x) por alguma outra função.
Para dois pontos diferentes – denominados, doravante, nós –, existe uma única função polinomial de primeiro grau que os cruza – Interpolação linear.
Para três ou mais pontos diferentes e não colineares dois a dois, existe uma única função polinomial de segundo ou maior grau que os cruza. Portanto, para n pontos diferentes e não colineares dois a dois, existe uma única função polinomial de grau (n-1).
Assim, dada a seguinte tabela:
X
X1
X2
...
Xn
f(x)
Y1
Y2
...
Yn

P(x)= an-1 x n-1+ …+ a1x+ a0
P(x1)= an-1 x n-1+ …+ a1x+ a0=y1
P(x2)= an-1x2n-1+…+a1x2+a0= y2
…
P(xn)= an-1 xnn-1 + … +a1xn+a0= yn
Arranjados de maneira matricial, temos:

Figura extraída do site http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_Vandermonde

Essa matriz do sistema é conhecida como Matriz de Vandermonde. Observa-se a coluna composta apenas pelo algarismo 1, para que na resolução do sistema, haja a constante, aqui representada por a0.
Teorema:
Dados n+1 nós, x0, ... , xn e os respectivos valores f0 , ... , fn, existe um e um só, polinômio interpolador de grau