Teoria da administraçao

Etapa 4
APLICAÇÕES DA DERIVADA
As aplicações da derivada a problemas típicos envolvendo máximos e mínimos, taxas de variação e cálculo de limites, que tem aplicações práticas nos mais diversos campos, como geometria, engenharia, física, biologia e economia. Na verdade, podemos resumir tudo isto dizendo que a derivada constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções.
Taxas de variação ou taxas relacionadas Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de taxas relacionadas. Assim, se uma variável x é função do tempo t, a taxa de variação de x em relação ao tempo é dada por dx .

Em problemas com taxas relacionadas, as variáveis têm uma relação específica para os valores de t, onde t é a medida do tempo. Essa relação é usualmente expressa na forma de uma equação. Os valores das variáveis e as taxas de variação das variáveis em relação à t são freqüentemente dados num determinado instante. Considere o exemplo a seguir:
Exemplo:
Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de
5 m?
Solução:
Seja t o tempo medido em minutos decorridos desde que a água começou a fluir dentro do tanque; h a altura em metros do nível de água em t min; r a medida em metros do raio da superfície da água em t min; e V a medida, em metros cúbicos, do volume de água no tanque em t min. Em qualquer instante, volume de água no tanque pode ser expresso em termos do volume do cone ( Tanque na forma de um cone 1 ⇒ V (t ) = π r 2 h 3 V, r e h são todas funções de t. Como a água está fluindo no tanque a uma taxa de 2 m3/min, dh m3 dV (t ) quando h = 5m. Para expressar r em termos de h, temos, .
TÉCNICAS DE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS
Vimos que a interpretação geométrica de derivada de uma função é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em