Teoremas de Morgan

Teoremas de Morgan Para adicionar à Álgebra de Boole e resolver alguns problemas trabalhosos nesta, o matemático britânico Augustus De Morgan (1806 – 1871) deu sua grande contribuição no âmbito da lógica matemática, suas realizações mais importantes foram o lançamento das fundações de relações e a preparação do caminho para o nascimento do que seria posteriormente chamado de lógica simbólica.
1º Teorema
O complemento de um produto é igual à soma dos complementos individuais.
(A . B) = A + B O teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:
| T1 | (A . B . C … N) = A + B + C + … + N O referido teorema poderá ser provado montando-se duas tabelas verdade: uma do primeiro membro e outra do segundo membro, e por fim, comparando-as. 2º Teorema
O complemento da soma é igual ao produto dos complementos.
Este teorema é uma extensão do primeiro. Assim:
(A + B) = A . B O teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:
| T2 | (A + B + C … N) = A . B . C … N >>Identidades Auxiliares
1ª Identidade
| IA1 | A + A.B = A (1º membro) = (2º membro)
Demonstração:
Aplicando-se o postulado do produto (PM2) no 1º membro, temos:
A = A.1
Então:
A + A.B
A.1 + A.B Aplicando-se a propriedade distributiva (PP5) no resultado acima, temos:
A.1 + A.B = A.(1 + B) Aplicando-se o postulado da adição (PA2) ao 2º membro da expressão acima, temos:
(1 + B) = 1
Então:
A.(1 + B) = A . 1 Aplicando-se o postulado da multiplicação (PM2) ao 2º membro, temos:
A . 1 = A
Assim:
A + A.B = A

2ª Identidade
| IA2 | (A + B).(A + C) = A + B.C (1º membro) = (2º membro)
Demonstração:
Aplicando-se a propriedade distributiva (PP5) no 1º membro, resulta:
A.A + A.C + B.A + B.C Aplicando-se o postulado da multiplicação