Teorema do Valor Intermediario

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS - IFAM

ADSON FIALHO MARQUES

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Teorema do Valor Intermediário
Teorema do Valor Médio

Manaus - Amazonas
2015
ADSON FIALHO MARQUES

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Teorema do Valor Intermediário
Teorema do Valor Médio

Trabalho de pesquisa apresentado ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Amazonas - Campus Manaus Distrito Industrial, como requisito parcial para a obtenção de nota na disciplina de Calculo Diferencial e Intergral.

Professor Me Sarley de Araujo Silva

Manaus - Amazonas
2015
Teorema do valor intermediário

O teorema do valor intermédio garante que, se uma função real f definida num intervalo [a,b] é continua, então qualquer ponto dtal que f(a) ≤ d ≤ f(b) ou f(a) ≥ d ≥ f(b) é da forma f(c), para algum ponto c do intervalo [a,b].1

Teorema de Bolzano

O Teorema de Bolzano é um caso particular deste teorema quando Ou seja se numa função contínua considerando dois pontos a e b e então existe pelo menos um ponto Ou seja, a função tem pelo menos uma raiz entre a e b.1

Demonstrações

Nas demonstrações que se seguem vai-se supor que se está no caso em que f(a) ≤ d ≤ f(b); o outro caso é análogo.1

Primeira demonstração

Considerem-se os números a1 e b1 assim definidos: se f((a + b)/2) ≤ d, então a1 = (a + b)/2 e b1 = b; caso contrário, a1 = a e b1 = (a + b)/2.

Então a ≤ a1 ≤ b1 ≤ b, f(a1) ≤ d ≤ f(b1) e b1 − a1 = (b − a)/2.
Em seguida, definem-se pontos a2 e b2 a partir de a1 e b1 pelo mesmo processo e assim sucessivamente. Se se definir a0 = a e b0 = b, fica-se com uma sucessão ([an,bn])n ≥ 0de intervalos que é decrescente, ou seja

Pelo teorema do encaixe de intervalos, existe algum c que está em todos os intervalos. Por outro lado, como o comprimento de cada intervalo é metade do anterior, o comprimento dos intervalos tende para 0. Resulta deste facto e da definição