teorema do confronto
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n. 15 – TEOREMA DO CONFRONTO, OUTEOREMA DO SANDUÍCHE OU TEOREMA DA
ESPREMEDURA
O Teorema do Confronto, diz respeito a três funções
( )
( )
( ), tais que: ( ) esteja entre ( )
Se
então
( ) para todo
,
( )
( ).
( )
e
.
Exemplos:
1. Seja uma função tal que
( )
Encontre o
( ).
Logo, temos que calcular os limites laterais, ou seja, o limite de g(x) quando
( )
( )
,
( )
( )
Logo, aplicando o Teorema do Confronto, temos que
( ) é tal que
( )
( )
( )
2. Sejam f , g, e h as funções definidas por
( )
(
( )
(
( )
)
)(
(
Encontre o
)
)
( ).
Analisando as funções ( )
( ) observamos que as duas representam parábolas, entretanto com concavidades opostas:
( ) tem concavidade voltada para baixo, pois o “a” é negativo, já ( ) tem concavidade voltada para cima, uma vez que o “a” é positivo.
( )
( )
Calculando os vértices:
zeros da função f(x):
)(
(
)
( ), corta o eixo x, e possui 2 raízes reais.
como
Vértice da parábola:
( )
(
)
(
(
(
)
)
(
)
)
(
)
zeros da função h(x):
(
(
)
)
( ), portanto, não corta o eixo x, não possui
como zeros reais.
Vértice da parábola:
( )
Portanto, o
(
)
( )
(
(
)
( )
eo
(
)
( )
)
( )
(
)
Analisando a função ( )
(
)(
)
observamos
que ela não é definida para x = 2
( )
(
)(
)
Dessa forma, a função só não é definida para x = 2. Contudo, para x ≠ 2 temos que a função é contínua.
Analisando os esboços dos gráficos das funções, temos:
( )
( )
( ), logo, como nas três funções
( ) pelo Teorema do Confronto, temos
,
3. Considere uma função k(x), cujo gráfico esteja entre dois gráficos dados e que também não esteja definida no mesmo ponto de tendência das outras duas funções, então, qual é o
( ) valor de
A resposta a essa pergunta é imediata usando o Teorema do