Teorema de Ceva

TEOREMAS DE MENELAU E CEVA

O objetivo desse artigo é apresentar dois teoremas básicos para a geometria euclidiana - a saber, os teoremas de Menelau e Ceva, atualmente ``esquecidos" em nossos cursos de geometria elementar. Menelau de Alexandria foi um astrônomo que viveu no fim do primeiro século D.C.. Através de comentários de historiadores gregos e árabes sabemos que ele escreveu uma coleção de seis livros sobre “Cordas no Círculo”, um livro de “Elementos da Geometria” e uma série de trabalhos em geometria e astronomia, todos perdidos. O único livro de Menelau que sobreviveu aos tempos foi o “Sphaerica”, um tratado em três volumes sobre geometria e trigonometria esférica, do qual chegou até o nosso tempo uma tradução árabe. No volume III ele menciona o teorema que (abaixo) leva seu nome, como sendo bem conhecido e a seguir o generaliza para a geometria esférica. Mais tarde, em 1806, Carnot baseou toda sua “teoria de transversais” neste teorema de Menelau.

Teorema de Menelau Sua versão simples é:

Teorema de Menelau (Forma Simples): Qualquer transversal  ao triângulo ABC corta as retas que contém os lados, em pontos DÎ(B, C), EÎ(A, C) e FÎ(A, B) tais que / . / . / = 1 Demonstração: De fato, baixemos pelos vértices A,B e C perpendiculares a  e sejam P, Q e R, respectivamente, os pontos de interseção dessas perpendiculares com . Sejam =r, =p e =q.
Da semelhança dos triângulos CDR e BDQ tiramos / = / =q/r. Analogamente, das semelhanças de CRE com APE e de APF com BFQ, tiramos / = / =r/p e / = / = p/q
Ou seja c.q.d. A recíproca desse teorema, que é válida, não pode ser demonstrada nessa formulação, pois dado um número k positivo existem dois pontos D e D', na reta (B,C) um interno e outro externo ao segmento BC, tais que / = BD' / D'C= k. Este fato será verificado no parágrafo que se segue. Razão Afim de estabelecer uma