Teorema da divergência

Teorema da Divergência

Uma superfície fechada (a superfície de uma caixa sólida, superfície de cilindro, etc.) pode ser ou não suave. Mas a maioria das superfícies suaves pode ser suave por partes, que é um número finito de superfícies suaves unidas pelas bordas.

Essas superfícies também possuem uma orientação, que pode ser orientada para dentro ou orientada para fora.

Seja um sólido G que superfície [pic] é orientada para fora. Se [pic] onde f, g, e h possuem primeiras derivadas parciais contínuas em um conjunto aberto que contenha G, então:

[pic][pic]

Esse teorema possui uma dedução complexa, mas não para um caso particular do sólido G, que é quando suas superfícies xy, yz e zx são sólidos simples (que possui superfícies que se tocam, mas não se interceptam).

Supondo que G tenha a superfície superior [pic], inferior [pic] e uma projeção R no plano xy e é denominada [pic] a superfície superior, [pic] a superfície inferior e [pic] a superfície lateral, como mostrado na figura abaixo:

[pic]

A fórmula do teorema pode ser escrita então:

[pic]

Assim, basta provar as três igualdades seguintes:

[pic]

[pic]

[pic]

Sendo as três provas semelhantes, será deduzida apenas a terceira igualdade.

Para isso, é utilizado um teorema que permite calcular as integrais triplas em sólidos xy simples. Aplicando o teorema na terceira igualdade:

[pic]

Logo:

[pic] (1)

Em seguida, é calculada a integral de superfície da igualdade aqui considerada ([pic]).

Havendo uma superfície lateral [pic], cada ponto então dessa superfície [pic], pois n é horizontal e k é vertical.

Logo:

[pic]

Assim, independente de G possuir ou não uma superfície lateral [pic], é possível escrever:

[pic] (2)

Na superfície superior o vetor normal possui direção para cima, e na superfície inferior possui direção para baixo. Isso implica então:

[pic]

E: