tecnicas de integração

Técnicas de Integração
Regra da Substituição
É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo dx. Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x + 4) e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis: com diferencial: u = 2x+4 du = 2dx
Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ], obtemos

↑ ↑ Reescrevendo { u = 2x+4 - du = 2dx}

Assim resolvendo esta integral teremos:

Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos:

Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando

e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ].
Regra da Substituição [ 2 ]
Se u = g(x) for uma função diferençável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então

Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais. Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais.
Método de Integração por Substituição
Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral dx foi bem-sucedido, escrevamos: f(x) = xe g(x) = 2x + 4
Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de é precisamente a composta de f e g. De fato (f
Portanto, pode ser escrita como Mostraremos em seguida que uma integral da forma pode ser escrita como suponhamos que F é uma antiderivada de f. Pela regra da cadeia temos portanto, Fazendo F ’ = f e efetuando a substituição u = g(x), temos como queríamos