Tcc a importancia da matematica na educação infantil

Cap´ ıtulo 8
A Integral
8.1

Rela¸˜o entre fun¸oes com derivadas iguais ca c˜

Teorema 8.1. Seja f cont´ ınua no intervalo I . Se f (x) = 0 em todo x interior a I , ent˜o a existir´ uma constante k tal que f (x) = k para todo x em I . a Corol´rio 8.1. Sejam f e g cont´ a ınuas no intervalo I . Se f (x) = g (x) em todo x interior a
I , ent˜o existir´ uma constante k tal que a a g ( x) = f ( x) + k para todo x em I .

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Exemplo 8.1. Seja f definida e deriv´vel em R e tal que , para todo x, f (x) = f (x). Prove a que existe uma constante k tal que, para todo x, tem-se f (x) = kex .

Exemplo 8.2. Determine y = f (x), x ∈ R, tal que dy = y e f (0) = 2. dx 8.2

Primitiva de uma fun¸˜o ca Seja f uma fun¸˜o definida num intervalo I . Uma Primitiva de f em I ´ uma fun¸ao F ca e c˜ definida em I , tal que
F ( x) = f ( x) para todo x em I .
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1
Exemplo 8.3. F (x) = x3 ´ uma primitiva de f (x) = x2 em R. e 3

Exemplo 8.4. Para toda constante k , F (x) = 2x + k ´ primitiva, em R, de f (x) = 2, pois, e F (x) = (2x + k ) = 2 = f (x) para todo x.

Se F ´ uma primitiva de f em I , ent˜o, para toda constante k , F (x) + k ´, tamb´m, e a e e primitiva de f . Al´ disso, vimos anteriormente que se duas fun¸oes tem derivadas iguais num e c˜ intervalo, elas diferem, neste intervalo, por uma constante. Segue que as primitvas de f em I s˜o as fun¸˜es da forma F (x) + k , com k constante. Diremos, ent˜o, que a co a y = F (x) + k,
´ a fam´ das primitivas de f em I . A nota¸˜o e ılia ca k constante f (x)dx ´ usada para representar a fam´ e ılia

de primitivas de f , isto ´, e f (x)dx = F (x) + k.
Na nota¸˜o ca f (x)dx, a fun¸ao f denomina-se integrando. Uma primitiva de f ser´, tamb´m, c˜ a e ´ denominada uma integral indefinida de f . E comum referir-se a indefinida de f .
Exerc´
ıcios 8.1. Calcule
a)

x2 dx

b)

dx

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f (x)dx como a integral

Exerc´ ıcios 8.2. Calcule