Tabela Vibra O P1 Merged

Tabela – Vibração Livre Não-Amortecida
Translação
# Eq. Do
Movimento

Rotação

𝐹 = 𝑚𝑥

𝑀 = I𝑜 𝜃

𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 = 0
# Freq.
Natural

𝑏1 𝜃 + 𝑏2 𝜃 = 0

𝑎2
𝑎1

𝜔𝑛 =

𝑏2
𝑏1

𝜔𝑛 =

# Associação de Molas

𝐾𝑒𝑞𝑠 é𝑟𝑖𝑒 =

1
1
𝑛
𝑖=1 𝐾
𝑖
𝑛

𝐾𝑒𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 =

𝐾𝑖
𝑖=1

Soluções Propostas
# Solução 1
(melhor qnd tem tempo)

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡

𝜃 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡

𝐴 = 𝑥𝑜

𝐴 = 𝜃𝑜

𝐵=
# Solução 2
(melhor qnd tem amplitude)

𝑋=

𝑥𝑜 2 +

𝑣𝑜
𝜔𝑛

2

=

𝐴² + 𝐵²

𝑣𝑜
𝐵
= tan−1
𝜔𝑛 𝑥𝑜
𝐴

𝜃𝑜 2 +

𝜔𝑜
𝜔𝑛

2

=

𝐴² + 𝐵²

𝜔𝑜
𝐵
= tan−1
𝜔𝑛 𝜃𝑜
𝐴

𝜃 𝑡 = 𝛷1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛 𝑡 + 𝜑1 )
𝜑1 = tan−1

𝑥 𝑡 = 𝐷𝑒 𝑠𝑡
𝑆1,2 ± 𝑖𝜔𝑛
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡

𝐵 = 𝑖 𝐷1 − 𝐷2

Φ=

𝜑 = tan−1

𝜔𝑛 𝑥𝑜
𝐴
= tan−1
𝑣𝑜
𝐵

𝐴 = 𝐷1 + 𝐷2

𝜔𝑜
𝜔𝑛

𝜃 𝑡 = Φ𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛 𝑡 − 𝜑)

𝑥 𝑡 = 𝑋1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛 𝑡 + 𝜑1 )
𝜑1 = tan−1

# Solução 4

𝐵=

𝑥 𝑡 = 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛 𝑡 − 𝜑)

𝜑 = tan−1
# Solução 3

𝑣𝑜
𝜔𝑛

𝜔𝑛 𝜃𝑜
𝐴
= tan−1
𝜔𝑜
𝐵

Pequenas deformações: cos 𝜃 ≅ 1, sin 𝜃 ≅ 𝜃
𝐼𝜃 + 𝐾𝑟𝜃 = 0
Kr varia de sistema pra sistema

Feito por: Chameco, as vezes conhecido como Giovani.

Tabela – Vibração Livre Amortecida
Translação
# Eq. Do
Movimento

Rotação

𝐹 = 𝑚𝑥

𝑀 = I𝑜 𝜃

𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥 = 0
# Freq.
Natural

𝑎3
𝑎1

𝜔𝑛 =

# Fator de
Amortecimen
to

𝜁=

𝑏1 𝜃 + 𝑏2 𝜃 + 𝑏3 𝜃 = 0
𝑏3
𝑏1

𝜔𝑛 =

𝐶
𝑎2
𝑎2
=
=
𝐶𝑐
2𝑎1 𝜔𝑛
2 𝑎1 𝑎3

𝜁=

𝐶𝑟
𝑏2
𝑏2
=
=
𝐶𝑟𝑐
2𝑏1 𝜔𝑛
2 𝑏1 𝑏3

Caso 1 – Sistema Criticamente Amortecido: ζ = 1
# Constante de Amortecimen to # Solução

C=Cc
Cc =

Cr = Crc

2𝑎1 𝜔𝑛 = 2 𝑎1 𝑎3

Crc = 2𝑏1 𝜔𝑛

= 2 𝑏1 𝑏3

P/ achar Cc, escrever Crc como função de Cc

𝑥 𝑡 = [𝐷1 + 𝑡𝐷2 ]𝑒 −𝜔 𝑛 𝑡
𝐷1 = 𝑥𝑜
𝐷2 = 𝑣𝑜 + 𝜔𝑛 𝑥𝑜

𝜃 𝑡 = [𝐷1 + 𝑡𝐷2 ]𝑒 −𝜔 𝑛 𝑡
𝐷1 = 𝜃𝑜
𝐷2 = 𝜔𝑜 + 𝜔𝑛 𝜃𝑜

Caso 2 – Sistema Subamortecido: ζ<1
# Autovalores
Complexos

𝑆1,2 = −

𝑎2
±
2𝑎1

2

𝑎2
2𝑎1

−

𝑎3
𝑎1