SÉRIES GEOMÉTRICAS

A Série Geométrica

O nosso primeiro exemplo de série infinita 0,1 + 0,01 + 0,001 + .... é um caso particular de uma série especial, chamada série geométrica.

Uma série do tipo ∑ a.r n −1 = a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n -1 + .... onde a ≠ 0 é
1

chamada de série geométrica e o número r é chamado de razão da série.

Observação: A série geométrica também pode ser dada na forma ∑ ar n = a + ar + ar 2 + ... , ou mais
0

geralmente, ∑ ar n − k = a + ar + ar 2 + ar 3 + ... n =k

Exemplos:
1) 0,1 + 0,01+ 0,001 + 0,0001 + ... =

∞ 1
1
1
1
1
1
+ 2 + 3 + 4 + ...∑ é uma série geométrica n −1
10 10
10
10
1 10 10

de razão r = 1/10 e a = 1/10.
∞

2) 3 − 3.2 + 3.22 − 3.23 + 3.24 −..... = ∑ 3.( −2) n é uma série geométrica de razão r = −2 e a = 3
0

Exercício: Coloque as seguintes séries na forma padrão

∑ ar

n =k

n −k

= a + ar + ar 2 + ar 3 + ... e

identifique a e r: n 1
 1  1 
1) ∑   = ∑   
1 3
1  3  3  n 2

n −1

1
1 1
2) ∑   = ∑    
2 2
2 2 2

. A razão r =

n −2

1
1
e o 1º termo da série é a =
3
3

 1  1 
= ∑   
2  4  2 

n −2

. A razão r =

1
1
e o 1º termo da série é a =
2
4

Observemos que se a série tem índice inferior igual a k a razão deverá estar elevada a n – k

2

3)

∑

(−1) n 5 n

1

a=−

4)

3

2n

=∑

(−1)(−1) n −1 5.5 n −1
9.9

1

n −1

 5  5 
= ∑  −  − 
1  9  9 

n −1

. A razão r = −

5 e o 1º termo da série é
9

5
9

∑ 4 n −1 = ∑ 4 2 4 n −3 . A razão r = 4 e o 1º termo da série é
3

a = 16.

3

O resultado seguinte nos diz quando a série geométrica é convergente e quando é divergente

A série geométrica ∑ a.r n −1 a ≠ 0 e r ∈ R
1

•

Converge para S =

•

a se r < 1
1− r

Diverge, se r ≥ 1

Demonstração:
1) r = 1
i) r = 1
Se r = 1 a série fica ∑ a = a + a + a + a + .... ; a n-ésima soma parcial é sn = na

e portanto

1