Surdos

Cálculo Numérico 1. Determine Li ( xk ) para i =0,1,2, k =0,1,2 e n =2.
( x − x1 )( x − x2 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )

Interpolação

1

Resolução: i =0 ⇒ L0 ( x )=

k =0 ⇒ L0 ( x0 )=1 k =1 ⇒ L0 ( x1 )=0 k =2 ⇒ L0 ( x2 )=0 i =1 ⇒ L1 ( x )=

( x − x0 )( x − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 )

k =0 ⇒ L1 ( x0 )=0 k =1 ⇒ L1 ( x1 )=1 k =2 ⇒ L1 ( x2 )=0
• i =2 ⇒ L2 ( x )=
( x − x0 )( x − x1) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )

k =0 ⇒ L2 ( x0 )=0 k =1 ⇒ L2 ( x1 )=0 k =2 ⇒ L2 ( x2 )=1

Lauro / Nunes

Cálculo Numérico 2. i Interpolação

2

Interpolar o ponto x =1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange. 0 −1 1
3

1 0 3

2 1 1

3 2 1

xi yi

Resolução:

n =3 é o grau máximo de P3 ( x ). i =0 3

P3 ( x )= ∑ yi Li ( x ) ⇒ P3 ( x )=1⋅ L0 ( x )+3⋅ L1 ( x )+1⋅ L2 ( x )+1⋅ L3 ( x ) Li ( x )= ∏ (x − x j ) − xj)

j = 0 ( xi j≠i

L0 ( x )=

( x − x1)( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 0)( x − 1)( x − 2) x3 − 3x 2 + 2 x = = ( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − x3 ) ( −1 − 0 )( −1 − 1)( −1 − 2) −6 ( x − x0 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x + 1)( x − 1)( x − 2) x3 − 2 x 2 − x + 2 = = ( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( 0 + 1)( 0 − 1)( 0 − 2) 2

L1 ( x )=

( x − x0 )( x − x1 )( x − x3 ) ( x + 1)( x − 0)( x − 2) x3 − x2 − 2 x L2 ( x )= = = ( x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 ) (1 + 1)(1 − 0)(1 − 2) −2

L3 ( x )= Logo:

( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) ( x + 1)( x − 0)( x − 1) x3 − x = = ( x3 − x0 )( x3 − x1 )( x3 − x2 ) ( 2 + 1)( 2 − 0)( 2 − 1) 6

x3 − 3x 2 + 2 x x3 − 2 x 2 − x + 2 x3 − x2 − 2 x x3 − x +3⋅ + + 2 −2 6 −6 3 2 ⇒ P3 ( x )= x −2 x − x +3

P3 ( x )=

P3 (1,5)= P3 ( 3 )= ( 3 )3 −2 ( 3 ) 2 − 3 [phone] P3 (1,5)= − 2⋅ − +3 8 4 2 3 P3 (1,5)= ⇒ P3 (1,5)=0,375 8 y 3 2 1
3 8

P (x ) 3

-1

0

1

3 2

2

x

Lauro / Nunes

Cálculo Numérico 3. i Interpolação

3

Interpolar o ponto x =1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton. 0 −1 1 1 0 3 2 1 1 3 2 1 xi yi

Resolução:

n =3 é o grau máximo de P3