superficies quadricas

QUÁDRICAS:
O Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas
A equação-padrão do hiperbolóide elíptico de duas folhas é

sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos. O parâmetro c tem uma imediata identificação geométrica, pois os dois pontos (0, 0, ± c) são os vértices do hiperbolóide elíptico de duas folhas; além disto, são os únicos pontos de corte deste hiperbolóide com os eixos coordenados. Para ver isto, tomamos z = 0 na equação-padrão acima e obtemos

que não possui solução (real) e portanto não há cortes nem com o plano coordenado x y nem com os eixos x ou y; no entanto, tomando x = 0 e y = 0 na equação-padrão acima, resulta z2 = c2 e obtemos os dois pontos de vértice. Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas com os planos coordenados verticais são as hipérboles que aparecem nas cores verde e azul nas figuras ao lado; à esquerda temos as duas hipérboles no hiperbolóide elíptico de duas folhas transparente e à direita aparecem (partes d)estas curvas no mesmo hiperbolóide elíptico de duas folhas, agora pintado de marrom. Estas hipérboles, de equações

são obtidas tomando y = 0 e x = 0 na equação-padrão. Nestas figuras também aparecem em carmim os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas por dois planos horizontais z = ± k, que são as elipses de equações

para uma constante k > c. (Já observamos que para  c < k <c não há corte e que, para k = ± c, temos os vértices.) Na figura acima, à direita, vemos as partes de todas estas curvas que aparecem no primeiro octante. Convém observar que o que é exibido nestas figuras é só uma parte do hiperbolóide elíptico de duas folhas, que se estende indefinidamente em todos os seis sentidos do espaço tridimensional; como ocorre com a hipérbole, no entanto, basta entender o comportamento do hiperbolóide na vizinhança da origem, pois o resto é bastante previsível. Também observamos que tomando a = b na equação-padrão, obtemos um hiperbolóide circular de duas folhas , que