superficies quadricas

Superfícies quadricas

Resumo

Superfície Quádrica nada mais é que a equação do 2º grau em três variáveis (x,y,z)

Onde pelo menos um dos coeficientes a,b,c,d,e ou f é diferente de zero.

Superfície de revolução
É a superfície gerada por uma curva plana (geratriz) que gira 360º em torno de uma reta situada no plano da curva. Neste caso, o traço da superfície num plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equação da superfície de revolução é obtida através da equação da geratriz.

Ex:

Elípsóide

Considerando no plano uma elipse com equações

Ao girarmos essa elipse em torno do eixo Oy, obtemos um elipsóide de revolução.

Sua equação é determinada a partir da equação da elipse, substituindo o z por
;

Analogamente podemos obter o elipsóide de revolução em torno de Oz. Neste caso a equação é obtida também pela equação da elipse substituindo agora o Y por

Hiperbolóides
As hiperbolóides são obtidas apartir da hiperbole rotacionada em torno de um de seus eixos.
Temos neste caso a hipérboloide de uma folha que é a rotação de uma hipérbole em torno do eixo Oz.

Sua equação é dada através da equação da hipérbole substituindo o Y por

A hiperbolóide de duas folhas é o resultado ta rotação de uma hipérbole em torno do eixo Ou. Sua equação é análoga a da Hiperboloide de uma folha só que dessa vez substitui o z por

Parabolóides
Neste tópico podemos citar o parabolóide helíptico e o paraboloide hiperbólico.
O parabolóide elíptico trata da rotação da parábola em torno do eixo OZ

Sua equação é obtida através da equação da parábola substituindo y por
Sua equação:

Paraboloide Hiperbólico é dado a partir da seguinte superfície

Esta equação é chamada forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz.
Outras formas:

Referências
WINTERLE,Paulo, Vetores e Geometria Analítica
São Paulo: Person Makron Books,2000.