Sries de Taylor e de Maclaurin

Definies Srie de Taylor, Srie de Maclaurin Seja f uma funo com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Ento, a srie de Taylor gerada por f em x a EMBED Equation.3 A srie de Maclaurin gerada por f EMBED Equation.3 a srie de Taylor gerada por f em x 0. Definio Polinmio de Taylor de Ordem n Seja f uma funo com derivadas de ordem k para k 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Ento, para algum inteiro n de 0 a N, o polinmio de Taylor de ordem n gerado por f em x a o polinmio EMBED Equation.3 Resto de um Polinmio de Taylor Precisamos de uma medida da preciso na aproximao do valor de uma funo f(x) por seu polinmio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idia de um resto Rn(x) definido por EMBED Equation.3 O valor absoluto EMBED Equation.3 chamado de erro associado aproximao. Teorema de Taylor Se f for derivvel at a ordem n 1 em um intervalo aberto I contendo a, ento para cada x em I existe um nmero c entre x e a tal que EMBED Equation.3 onde EMBED Equation.3 Teorema da Estimativa do Resto Se existirem constantes positivas M e r tais que EMBED Equation.3 para todo t entre a e x, inclusive, ento o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfar a desigualdade EMBED Equation.3 Se essas condies forem vlidas para todo n e todas as outras condies do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, ento a srie convergir para f(x). Combinando Sries de Taylor Na interseo dos seus intervalos de convergncia, as sries de Taylor podem ser somadas, subtradas e multiplicadas por constantes e potncias de x, e os resultados so novamente sries de Taylor. A srie de Taylor para f(x) g(x) a soma da srie de Taylor para f(x) e a srie de Taylor para g(x) porque a ensima derivada de f g f(n) g(n) e assim por diante. Podemos obter a srie de Maclaurin para (1 cos 2x) / 2 substituindo 2x na srie de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A srie de Maclaurin para sen x