Sistemas

Ficha de Apoio n.º 4

Geometria no Plano e no Espaço II
Interseção de Planos. Prog. Linear

INTERSEÇÃO DE PLANOS
Revisão Posição relativa de dois planos: • _________________

α e β são _________________________ α ∩β =
Exemplo:

α e β são _________________________ α ∩β =
Exemplo:

α: β:

α: β:

•

_________________

α e β são _________________________ α ∩β =
Exemplo:

α e β são _________________________ α ∩β =
Exemplo:

α: β:

α: β:

Exercício 1:
Resolve os exercícios 261 e 262, da página 115, e os exercícios 258 a) e 258 b) e 260, da página 113 do manual.

E se em vez de dois planos, tivermos três? Observa o paralelepípedo [ABCDEFG] ao lado. Se considerarmos três planos, definidos pelos vértices da figura, podemos conjeturar que sua a interseção pode ser _____________________________________________ __________________________________________________________.
Matemática A – 11º ano 2011/ 2012
E

H

G

F D C

A

B

1/8

Como um plano pode ser definido por uma equação, a interseção de planos reduz-se à resolução de sistemas. Interseção Classificação do sistema

Exercício 2:
Resolve os exercícios 266 e 267, das páginas 118 e 119 do manual.

Exemplo 1:
Estuda a posição relativa dos seguintes planos:

α : x + y + 2z = 3 β : 2 x + y − 3z = 0 γ : 3x − 2 y − z = 7
Matemática A – 11º ano 2011/ 2012 2/8

Para estudar a posição relativa dos planos, vamos ___________________________:

Método da substituição:

Método da adição ordenada:

Matemática A – 11º ano

2011/ 2012

3/8

Nota: Por vezes, torna-se mais fácil resolver um sistema utilizando estes dois métodos. Nestes casos, diz-se que o sistema é resolvido pelo método misto.

Exercício 3:
Resolve os seguintes sistemas usando o método misto e interpreta geometricamente a solução:

a)

3x + 4 y − 2 z = 1   x − 3 y − 5 z = −4 2 x − y + z = 9 

b)

4 x − y − z = 2  2 x − y + 5 z = −4 3x − y + 2 z + 1 = 0 

Exercício 4:
Resolve os