Sistemas Lineares

SISTEMAS LINEARES
1.

DEFINIÇÕES
Toda equação da forma a1 x1  a2 x2    an x x  b é denominada equação linear, onde

a1 , a 2 ,  a n são os coeficientes (números reais ou complexos); x1 , x 2 ,  , x x são as incógnitas

(variáveis); e b é o termo independente (número real ou complexo).
Exemplos:
a)
3x  9 y  18
c)
x y z t  2
b)
x  2 y  3z  0 (homogênea)
d)
4ix  2 y  5  8i
Observações:
a)
Quando o termo independente b for igual a zero (b  0) , a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Exemplo: 5 x  3 y  0 ;
b)

Uma equação linear não apresenta termos da forma x 2 , x1.x2 , etc., isto é, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. Exemplo: As equações

x 2  4 y  16 , xz  yx  8  0 e x  3 y  14 não são lineares;
c)

A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou n-upla (lê-se êneupla), (1,  2 ,  3 , ,  n ) que quando colocadas respectivamente no lugar de

x1, x2 , x3 , , xn , tornam verdadeira a igualdade dada;
d)

A seqüência (0, 0, ,0) é sempre uma solução para uma equação linear homogênea.
Chamamos (0, 0, ,0) de solução trivial.

Exemplo: A seqüência ( 5, 6, 7 ) é uma solução da equação 2 x  3 y  2 z  14 , pois, tomando x  5 ,

y  6 e z  7 na equação dada, teremos: 2  5  3  6  2  7  14

Sistema de equação linear: Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11x1  a12 x2    a1n xn  b1
a x  a x    a x  b
 21 1 22 2
2n n
2



am1x1  am 2 x2    amn xn  bn onde: x1, x2 , x3 , , xn são as incógnitas (variáveis); a1, a2 , a3 , , an são os coeficientes (números reais ou complexos); b1, b2 , b3 , , bn são os termos independentes (números reais ou complexos).
Já a solução de um sistema linear é uma seqüência de números (1,  2 ,  3 , ,  n ) que se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.