sistemas dinamicos lineares

Sistemas Dinâmicos Lineares
Revisão/exercícios – Cap 1
Prof. Maurílio Nunes Vieira
Depto. Engenharia Eletrônica - UFMG

1.1.2 Energia total (E∞) e potência total (P ∞)
Definições sem rigor no significado físico

contínuo

discreto

Soma de progressões geométricas α k −α N
∑α = 1 − α n=k N −1

1−α N
∑α n = 1 − α n =0
N −1

n

∞

∑α n = n =0

1
1−α

Exercício 1.54

∞

∑α n = n =0

1
1−α

∞

1
∑α = 1 − α n =0 n Transformações da variável independente discreta

deslocamento

Compressão
(dizimação ou decimação) reflexão

expansão
(interpolação)

1.2.2 Sinais periódicos
Periódico com período T > 0:

x(t ) = x(t + T ) x(t ) = x(t + mT ), m inteiro

Também é periódico com 2T, 3T, ...
Período fundamental: T0 = menor período que satisfaz
Sinal aperiódico: não satisfaz x(t ) = x(t + mT )

1.2.2 Sinais periódicos
Tempo discreto

x[n] = x[n + mN ], m, N = inteiros

(período fundamental: N0 = 3)

1.3.1 Sinais senoidais e exponenciais complexas periódicas x(t ) = e e jω 0 t

=e

se T = T0 =

jω 0 t

complexa e periódica

jω 0 ( t + T )

2π

ω0

=e

jω0t

⋅e

jω0T

, e jω0T = e j 2π = 1

(T0 = período fundamental)

De forma similar , se T = k ⋅ T0 , e jω0 ⋅kT0 = e j 2 kπ = 1

(harmônicos: kω0, k=±1, ±2, ...)

Funções harmonicamente relacionadas:

φk (t ) = e jkω ⋅t
0

múltiplos inteiros de uma freqüência fundamental

3. Discreto: não é periódico para qualquer ω0
Para e

e

jω0 n

jω 0 ( n + N )

ser periódico com período N>0,

=e

jω 0 n

⋅e

jω0 N

e

jω 0 N

= 1?

= 1 se ω0 N = 2π ⋅ m

ω0 m
= , m e n = inteiros
2π N
Deve ser um número racional
Caso contrário,

e

jω0 n

será aperiódico

1) Discreto: Sinais não distintos para qualquer ω0

=1

Sinais iguais para ω0 ± 2π , ω0 ± 4π , ...

Sinais discretos: Considerar apenas o intervalo

0 ≤ ω0 < 2π ou − π ≤ ω0 < π

1.2.3 Simetria de sinais