Sistemas de numérico

uméSistemas de numera¸˜o decimal e bin´rio - 1a parte ca a
A forma como costumamos representar os n´meros ´ a forma de representa¸˜o do sistema decimal, u e ca tamb´m chamado sistema na base 10. Mas, de maneira geral, se β ´ um inteiro positivo, podemos e e tom´-lo como base para um sistema de numera¸˜o. Na antiguidade, foram utilizadas as bases 12 e a ca 60. Um computador opera com n´meros representados no sistema de base 2, tamb´m conhecido como u e sistema bin´rio. A representa¸˜o de um n´mero inteiro positivo em um sistema de base β ´ da forma a ca u e (an an−1 . . . a2 a1 a0 )β , onde a0 , a1 , . . . , an s˜o os algarismos (ou d´ a ıgitos) do n´mero e s˜o inteiros entre 0 e β − 1, isto ´, u a e 0 ≤ ai ≤ β − 1 para cada i = 1, 2, . . . , n. No sistema decimal, a representa¸˜o acima tem o seguinte ca significado: (an an−1 . . . a2 a1 a0 )β = an β n + an−1 β n−1 + · · · + a2 β 2 + a1 β 1 + a0 . Ou seja, o resultado da soma an β n + an−1 β n−1 + · · · + a2 β 2 + a1 β 1 + a0 ´ a convers˜o para o sistema e a decimal do n´mero (an an−1 . . . a2 a1 a0 )β , representado na base β. Considere, por exemplo, o n´mero u u (10111)2 , representado no sistema bin´rio. A convers˜o deste n´mero para o sistema decimal pode a a u ser feita como abaixo: (10111)2 = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23

Como vemos, a convers˜o de um n´mero inteiro do sistema bin´rio para o decimal ´ um processo a u a e simples. No entanto, se o n´mero tiver uma grande quantidade de d´ u ıgitos, a convers˜o ir´ envolver o a a c´lculo de potˆncias de 2 com expoentes n˜o t˜o pequenos, o que pode tornar o processo um pouco a e a a trabalhoso. Por isso, vamos descrever um m´todo mais eficiente de fazer a convers˜o. Para exemplie a ficar, considere um n´mero inteiro positivo, no sistema bin´rio, de 5 d´ u a ıgitos, digamos (a4 a3 a2 a1 a0 )2 . Temos que (a4 a3 a2 a1 a0 )2 = a4 · 24 + a3 · 23 + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 = = = {a4 · 23 + a3 · 22 + a2 · 21 + a1 }2 + a0 {[a4 · 22 + a3 ·