Sistema massa mola

4 SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO FORÇADO COM AMORTECIMENTO
Consideremos uma força externa agindo sobre uma massa vibrante em uma mola. A inclusão de na formulação da segunda lei de Newton resulta na equação diferencial do movimento forçado: (1)
Dividindo (1) por m, obtemos: (2)
Onde m, c, k são respectivamente a massa, o coeficiente de amortecimento e a constante da mola e Frequência natural do sistema.
Suponha que a força externa é dada por , onde representa a amplitude e ω representa a frequência da força: (3)
OBS:
A solução geral da equação (2) é dada por: (4)
Onde tendem a zero quando (vai desaparecendo quando aumenta), ela é chamada de solução transiente. Em muitas aplicações ela tem pouca importância, pode ser indetectável depois de apenas alguns segundos. A solução transiente nos permite satisfazer condições iniciais impostas.
Admite-se que é solução para . Esta solução não desaparece quando , mas continua indefinida ou enquanto a força externa estiver sendo aplicada, é chamada de solução estacionária ou resposta forçada.
Como é solução faz-se , e substitui-se na EDO original chegando aos valores de A e B: Podemos expressar também como única função trigonométrica: (5)
Onde R, que representa a amplitude, é:

E é a fase, ou o ângulo de fase, e mede o deslocamento da onda a partir a partir de sua posição normal correspondente a . Esta medida é expressada por:

Para encontrar o que dará a maior amplitude é preciso derivar a equação da amplitude e igualar a zero, assim é possível analisar os valores de máximo e mínimo desta equação, assim:

Referencias:
Dinâmica para Engenharia, vol. 2 / Irving H. Shames – São Paulo : Prentice Hall, 2003.
Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno / William E. Boyce, Richard C. DiPrima. –[Reimpr.]. – Rio de Janeiro : LTC, 2011