Sistema de coordenadas polares com exercios resolvidos

Sistema de Coordenadas Polares

O sistema de coordenadas é muito útil no estudo das diversas curvas e alguns problemas relacionados a lugares geométricos. No sistema de coordenadas polares, um ponto é localizado especificando-se sua posição em relação a uma reta fica e um ponto nessa reta, as coordenadas de P consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo em relação um ponto fixo e a um semi-eixo fixo.

O ponto P é determinado a partir do par ordenado (r , [pic]), onde r é denominado raio vetor, e [pic] o ângulo vetorial de P.

r = distância entre P e a origem

[pic] = medida em radianos, do ângulo orientado AÔP.

O ponto P é determinado também pelos diversos pares de coordenadas representadas por (r,[pic]+2k[pic]), onde K é um inteiro ou ainda P pode ser representado por (-r,[pic]+2k[pic]), sendo K qualquer inteiro ímpar.

Transformações de Coordenadas

Para certos casos é conveniente a transformação de coordenadas polares em coordenadas cartesianas e vice-versa. Para facilitar a comparação entre os dois sistemas, consideremos o ponto O(origem) coincidindo com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar coincidindo com o eixo positivo das abscissas. Para isso tomemos o ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r,[pic]), temos:

i)

Observamos que:

cos[pic] = [pic] e sen[pic] = [pic]

ii)

cos[pic] = [pic] = [pic] e sen[pic] = [pic] = [pic]

Portanto,

x = r cos[pic]

y = r sen[pic]

Usando x = r cos[pic] e y = r sen[pic] , vem que:

x² = r²cos²[pic] y² = r²sen²[pic] x² + y² = r²

Portanto,

r = [pic] .

Podemos também transformar equações