Sistema com dois graus de liberdade

Unidade 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade

Unidade 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade
5.1 - Introdução
Sistemas de dois graus de liberdade são aqueles que requerem duas coordenadas independentes para descrever seu movimento. As Figs. 5.1 e 5.2 mostram alguns exemplos de tais sistemas. m, J0
(t)

C.G.

k1

x(t)
C.G.
x1(t) x2(t) k2 m k

k

x(t) y(t) Figura 5.1- Corpo com dois graus de liberdade.

Figura 5.2 - Massa concentrada.

A Fig. 5.1 mostra um sistema constituído de um corpo de massa m e momento de inércia em relação ao centro de gravidade (C.G.) J0, sustentado por duas molas de rigidez k. Assumindo que o movimento da massa ocorre apenas no plano vertical, a posição do corpo em qualquer instante de tempo é perfeitamente descrita pela coordenada linear x(t), que representa o deslocamento vertical do centro de gravidade do corpo, e pela coordenada angular (t), que representa a rotação em torno de C.G. Outros sistemas de coordenadas independentes, como, por exemplo, os deslocamentos das extremidades x1(t) e x2(t), também poderiam ser utilizados para descrever completamente o mesmo movimento. Assim sendo, o sistema possui dois graus de liberdade. É importante observar que a massa é tratada como um corpo rígido com movimento plano restrito à direção vertical. A Fig. 5.2 mostra um sistema em que uma massa pontual m possui dois graus de liberdade, podendo transladar nas direções x e y.
O movimento de um sistema de dois graus de liberdade é descrito por duas equações diferenciais de segunda ordem geralmente acopladas, isto é, em cada uma das equações estão presentes termos que contém as duas coordenadas.
Assumindo-se uma solução harmônica para cada coordenada, as equações do movimento conduzem a duas frequências naturais para o sistema. Durante a vibração livre em cada uma das frequências naturais, as amplitudes das duas coordenadas estão sempre relacionadas entre si formando uma configuração conhecida como