Sinais e sistemas

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MONTES CLAROS – FACIT
QUARTO PERÍODO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
DISCIPLINA: SINAIS E SISTEMAS
PROFESSOR: RENATO DOURADO MAIA
EXEMPLOS RESOLVIDOS – FUNDAMENTOS DE SINAIS E SISTEMAS

Exemplo 1: Determine se os sistemas abaixo possuem o seu inverso. Em caso afirmativo, determine o sistema inverso. t (a) y (t ) =

∫ x(τ )dτ

(b) y (t ) =

−∞

dx(t ) dt Solução (a): t Pelo Teorema Fundamental do Cálculo: y (t ) =

∫ x(τ )dτ = X (t ) − X (−∞)

−∞

Derivando os dois lados:

dy (t ) d ( X (t ) − X (−∞))
=
= x(t ) dt dt

Então, o sistema é invertível.
Solução (b):
Será utilizada a prova pela contrapositiva, isto é, por meio de um contra-exemplo:
Considere y (t ) =

dx(t ) dx(t ) d ( z (t ) + C ) dz (t )
, e x(t ) = z (t ) + C . Logo, y (t ) =
=
=
.
dt dt dt dt O valor da constante C não altera o resultado. Então, o sistema é não invertível.
Exemplo 2: Determine se os sistemas abaixo são estáveis:
(a) y[n] = x[n]

2

(b) y (t ) = sin(2π x(t )) (c) y (t ) =

t

∫

x(τ )dτ (d) y (t ) =

−∞

dx(t ) dt (e) y[n] =

15
∑ x[n + k ]
11 k =−5

Solução (a):
Definição: x[n] < ∞ ou x[n] < M , onde M é um número real finito. Logo:

y[n] = x[n]2 y[n] = x[n]2 y[n] = x[n]

2

y[n] = M 2
Como M é um número real finito, o sistema é estável.
Sinais e Sistemas – Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros – Renato Dourado Maia

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Solução (b):
Definição: x[n] < ∞ ou x[n] < M , onde M é um número real finito.
Lembrando: sin(.) < 1 . Logo: y (t ) = sin(2π x(t )) y (t ) = sin(2π x(t )) y (t ) ≤ 1
O sistema é estável.
Solução (c):
Definição: x[n] < ∞ ou x[n] < M , onde M é um número real finito. Logo: t ∫ x(τ )dτ

y (t ) =

−∞

t

∫ x(τ )dτ

y (t ) =

−∞ t y (t ) ≤

∫

x(τ ) dτ

−∞ t y (t ) ≤

∫ Mdτ

−∞

y (t ) ≤ M τ

t
−∞

O valor da integral depende de t, que pode valer ∞, e tem como limite