series de fourier Analise matematica 3

Índice

1. Introdução Em 1822 o matemático francês Joseph Fourier1 apresentou sua obra Theorie Analytique de la Chaleur, onde apresenta um tratamento matemático sobre o problema da condução térmica. Desde o século XVII, com o desenvolvimento do cálculo diferencial, físicos e matemáticos conseguiram descrever inúmeros fenômenos por meio das equações diferenciais. Em seu tratado, Fourier não apenas apresenta uma solução para a equação do calor, mas também uma forma para resolver inúmeras equações diferenciais parciais.

2. Séries de Fourier

Uma série de Fourier, é a representação de uma função periódica como uma soma de funções periódicas simples, particularmente, co-seno e seno. Para que possamos escrever uma função periódica com os resultados discutidos por Fourier, definiremos primeiro uma série trigonométrica.

2.1. Definição

As constantes n n a ,a ,b 0 (n = 1,2,3,...) são os coeficientes da série trigonométrica.
Se a série (1) convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2п, dado que sen(nx) e cos(nx) são funções periódicas de período 2 п. Neste livro, não trataremos sobre convergência ou divergência de séries, tal estudo, demandaria um capítulo específico para tal.

2.2. Determinação dos coeficientes da série Suponhamos que a função f(x), periódica e de período 2 п , pode ser representada por uma série trigonométrica convergente para f(x) no intervalo (-п, п), isto é, que seja a soma desta série:

Suponhamos que a integral da função do primeiro membro desta igualdade é igual à soma das integrais dos termos da série (2), isto é possível desde que a série proposta convirja absolutamente. A série pode então ser integrada termo a termo de – п a п:

Calculando as integrais separadamente, obtemos:

Para calcular os outros coeficientes da série,