sequencias numericas

Sequências Numéricas

Introdução

Uma sequência infinita, que doravante chamaremos apenas de sequência, em breves palavras, é uma lista ordenada de números reais, isto é, existe um primeiro elemento, um segundo elemento, e assim por diante, indefinidamente.
Uma definição mais formal e que vemos com bastante frequência na literatura sobre o assunto é a seguinte:

Definição: uma sequência é uma função , ou seja, é uma função definida no conjunto dos números naturais cuja imagem está contida no conjunto dos números reais.

No estudo de sequências, o conjunto dos números naturais tem o número 1 como seu menor elemento. Em análise, isso é comum; já, por exemplo, em álgebra, é providencial que este conjunto tenha o zero como menor elemento. Não faz diferença alguma, matematicamente, o conjunto dos naturais com o zero ou sem ele. Portanto, para nós, exceto por alguma ressalva, N = {1,2,3,4,....}. Existem diversas notações para sequências, tais como: ou ou ou simplesmente

O número é chamado de índice da sequência e é o n-ésimo termo da sequência ou termo geral.
Para nos familiarizarmos com sequências, começamos com dois tipos especiais que são conhecidas: as progressões aritméticas e as progressões geométricas, infinitas. Aqui cabe até uma pequena história, talvez lendária, sobre Karl Friedich Gauss (1777-1855).
Quando ele tinha 10 anos, era um garoto bastante irrequieto, como quase toda criança nesta idade. Um dia seu professor a fim de garantir que o jovem Gauss e seus colegas se acalmassem para que pudesse corrigir algumas provas, propôs que calculassem a soma dos 100 primeiros números inteiros positivos: 1 + 2 + 3 + ... + 100, na esperança de mantê-los quietos por algum tempo. Foi tudo bem até o terceiro minuto quando então o pequeno Gauss apresentou sua resposta escrevendo simplesmente o número 5050 no caderno. O procedimento de Gauss era bastante engenhoso, ele escreveu a série de 1 até 100 e em baixo escreveu a mesma série do 100 até 1.
S =