seq ser
Sucessões
1.1
De…nição
As sucessões são funções reais de varíável natural.
De…nição 1.1.1 Dado um conjunto A 6= ?; chama-se sucessão de termos em A a qualquer aplicação de N em A:
Exemplo 1.1.2 As aplicações f: N !
Z
n 7 ! 3n 4
e
g: N ! n 7 !
Q
5n+2 n+1 são exemplos de sucessões.
Se o conjunto de chegada for R então diz-se uma sucessão de números reais.
Designa-se por un :
Aos valores imagens da sucessão chamam-se termos da sucessão e designamse por u1 ; u2 ; ::::un ; ; :::; isto é, 1o termo, 2o termo,...,enésimo-termo ou termo de ordem n:
À expressão un chama-se termo geral da sucessão.
Ao contradomínio da aplicação chama-se conjunto de todos os termos da sucessão. Modos de de…nir uma sucessão:
1. Dado o termo geral
Dada a "lei"que permite obter as imagens a aplicação …ca de…nida, já que o seu domínio é sempre N.
Exercício 1.1.3 Considere a sucessão un =
a) Calcule o 2o e o 10o termos.
b) Determine up+2 :
5
2n 5 n+3 :
6
CAPÍTULO 1. SUCESSÕES
2. Por recorrência
Os termos da sucessão são calculados a partir dos termos anteriores.
8
< u1 = 3
Exemplo 1.1.4 a)
:
un+1 = 2un + 4; 8n 2 N:
8
< v1 = 1
b) v2 = 3
:
vn+2 = vn + vn+1 ; 8n 2 N:
Exercício 1.1.5 Calcule os quatro primeiros termos de cada uma das sucessões anteriores e represente-os gra…camente.
Exercício 1.1.6 Considere a sucessão wn =
Veri…que se sua ordem.
1.2
7
11
e
5
7
3n + 4
:
5n + 2
são termos da sucessão e, em caso a…rmativo, indique a
Subsucessão
De…nição 1.2.1 Designa-se por subsucessão de un qualquer sucessão que resulte da supressão de alguns termos de un .
Exercício 1.2.2 (i) Dada a sucessão un = ( 1)n (n + 3) ; calcule:
a) A subsucessão de un dos termos de ordem par.
b) A subsucessão de un dos termos de ordem ímpar.
c) A subsucessão de un dos termos cuja ordem é multipla de 5:
(ii) Represente grá…camente os três primeiros termos de cada subsucessão.
1.3
Sucessões monótonas
De…nição 1.3.1 Seja un uma sucessão.
(i) un diz-se crescente se un+1 un ; 8n 2 N, isto é, se