Seis esferas de mesmo raio R

TRABALHO EM GRUPO – TG

2014
Questão- Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices de um hexágono regular de aresta 2R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima esfera de raio 2R que tangencia todas as demais. Determine distância do centro da sétima esfera à superfície horizontal.

Resposta:

Os centros das seis esferas menores e os pontos em que elas tocam a superfície horizontal são vértices de um prisma hexagonal regular, com as arestas das bases medindo 2R e a altura medindo R.
Já os centros das esferas menores e o centro da esfera maior são vértices de uma pirâmide hexagonal regular com as arestas das bases medindo 2R e as arestas laterais medindo 3R.

Dado do prisma hexagonal regular:
Aresta da base: 2R
Altura: R

Dado da pirâmide hexagonal regular:
Aresta da base: 2R
Aresta lateral: 3R
Resolvendo por Pitágoras

No triangulo retângulo temos:

(VO)² + (AO)² = (VA)² h² + (2R)² = (3R)² h² + 4R² = 9R² h² = 9R² - 4R² h² = 5R² h = √ 5R² h = R √5

Para encontrar a distancia:

D = h + R
D = R √5 + R
D = R (√5 + 1)

Resposta:
A distância do centro da sétima esfera á superfície horizontal é: R (√5 + 1)

Obs. professor (a), eu não tenho habilidade para fazer o desenho no computador, então eu o fiz em uma folha de papel almaço, e passei para o computador por scanner, copiei a imagem do desenho e colei no meu trabalho, espero não perder nota por este motivo. Desde já agradeço a compreensão.