sei la

Universidade Federal de Goi´s a Campus de Catal˜o a Prof. Paulo Galdino
Disciplina: C´lculo II a ´
´
AREA MAXIMA
Multiplicadores de Lagrange
GRUPO: Eu, Eu mesmo, Eu de novo,
Minha pessoa.

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PROBLEMA
Um galp˜o deve ser constru´ em um a ıdo terreno com a forma de um triˆngulo a cujos lados menores medem 10m e 20m.
Determine a ´rea m´xima poss´ para a a ıvel o galp˜o. a RESOLUCAO:
¸˜
Geometricamente, temos a situa¸˜o: ca 2

OBSERVACAO
¸˜
O ponto P (v´rtice do retˆngulo) deve e a pertencer ao maior lado do terreno triangular para que a ´rea desejada a seja m´xima. a NOSSO OBJETIVO
{

M aximizar A(x, y) = xy
Restrito a x + 2y = 20.

Temos ent˜o um problema de a otimiza¸˜o com restri¸˜o. Assim, para ca ca encontrar os poss´ ıveis pontos de m´ximos e m´ a ınimos vamos recorrer ao
M´todo dos Multiplicadores de e Lagrange.
3

˜
DEVEMOS ENTAO:

{

M aximizar A(x, y) = xy
Restrito a g(x, y) = x + 2y − 20.

Ou seja, devemos resolver o sistema
∇A(x, y) = λ∇g(x, y) para algum λ ∈ R

4

Que ´ equivalente a resolver o sistema e ∇L(x, y, λ) = (0, 0, 0)
Onde
L(x, y, λ) = A(x, y) − λg(x, y)
Ou seja
L(x, y, λ) = xy − λ(x + 2y − 20)

5

Assim, temos que:
∇L(x, y, λ) = (0, 0, 0)
⇕
(y − λ, x − 2λ, −x − 2y + 20) = (0, 0, 0)
⇕

y − λ = 0 x − 2λ = 0
.
 x + 2y − 20 = 0

6

⇕

y = λ x = 2λ
.
 x + 2y − 20 = 0
⇕
λ=5
Assim, para λ = 5 temos que x = 10 e y = 5, ou seja, (10, 5) ´ o unico e ´ candidato a ser extremante local de
A(x, y).

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O M´todo dos Multiplicadores de e Lagrange n˜o nos garante que (10, 5) ´ a e um ponto de m´ximo, mas com uma a r´pida inspe¸˜o na figura do problema, a ca podemos concluir que tal ponto ´ e ponto de m´ximo de A(x, y), ou seja, a as medidas x = 10 e y = 5 fornecem a
´rea m´xima do galp˜o procurado, a a a a saber, 50m2.

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