seg trabalho

O circuito RC ´e composto de uma fonte de tens˜ao, vi (t ), em s´erie com um resistor R e um capacitor C .

+ R −
+

vi (t )

−

i (t ) +
C vc (t )
−

Circuito RC

◮ A corrente no capacitor ´e proporcional `a taxa de variac¸˜ao da tens˜ao atrav´es do capacitor, matematicamente:

Dvc (t ) i (t ) = C dt , (1)

sendo a capacitˆancia C a constante de proporcionalidade.
◮ Pela lei de Kirchoff, a soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nula, o que leva `a express˜ao:

vi (t ) − Ri (t ) − vc (t ) = 0 (2)

Circuito RC

Substituindo i (t ) em (2) pela relac¸˜ao (1), surge uma equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem:

dvc (t ) dvcc (t ) 1 1 vi (t )−RC −vc (t ) = 0 =⇒ dt dt = − RC vc (t )+ RC vi (t )
(3)

Circuito RC

Solu¸c˜ao anal´ıtica

◮ Considere o caso simples onde vi (t ) = 0 para todo t e vc (0) = v o (descarga do capacitor).
◮ Ent˜ao, a solu¸c˜ao anal´ıtica de (3) pode ser obtida:

dvc (t ) 1 dvc (t ) dt dt = − RC vc (t ) ⇔ = − vc (t ) RC
T T ⇔ Z t =0 dvc (t ) = Z vc (t ) t dt
−
t =0 RC

onde k ´e uma constante. ⇔ ln vc (t ) = − RC + k (4)

Circuito RC

◮ Portanto, a partir de (4), deduzimos que a tens˜ao no capacitor decresce exponencialmente na taxa inversa de RC :

t t t vc (t ) = e − RC +k = e k e − RC = v o e − RC (5)

◮ Para um circuito RC onde R = 2 Ω, C = 0.1 F e vc (0) = 2 V , a curva de tens˜ao no capacitor em fun¸c˜ao do tempo pode ser observada na figura abaixo.
◮ A curva caracteriza a descarga da energia do capacitor que, por sua vez, ´e dissipada pelo resistor.

Circuito RC

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8