Rugosimetro

CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL II

De forma geral, problemas de otimização restrita podem ser muito complexos, não havendo um método geral para encontrar a solução de todas as classes de problemas. Em algumas situações simples, podemos resolvê-los explicitando uma variável em função das outras, na restrição, substituindo na função objetivo e resolvendo o problema de otimização irrestrita resultante. O método dos multiplicadores de Lagrange permite analisar situações mais gerias. Por meio desse método, um problema de otimização restrita com n variáveis e m restrições de igualdade é transformado em um problema de otimização irrestrita com (n + m) variáveis.

Resumo Teórico

1. Problemas envolvendo funções de duas variáveis e uma restrição

Considerando o seguinte problema: max f(x,y) s.a g(x,y) = 0

Usando as propriedades do vetor gradiente, vamos obter uma visualização geométrica do método de Lagrange, que nos permite determinar os candidatos a pontos de máximo e/ou mínimo condicionados de f. Para isso, esboçamos o gráfico de g(x,y) = 0 e diversas curvas de nível f(x,y) = k da função objetivo, observando os valores crescentes de k. O valor máximo de f(x,y) sobre a curva g(x,y) = 0 coincide com o maior valor de k tal que a curva f(x,y) = k intercepta a curva g(x,y) = o. Isso ocorre em um ponto P0. Nesse ponto, as duas curvas têm a mesma reta tangente t (Figura abaixo).

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Como grad f e grad g são perpendiculares à reta t, eles têm a mesma direção no ponto P0. Além disso, o mesmo argumento pode ser facilmente adaptado para problemas de minimização.

Aplicação

Um galpão retangular deve ser construído em um terreno com a forma de um triangulo, conforme a figura abaixo. Determinar a área máxima possível para o galpão.

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Solução: Na figura abaixo, representamos a situação a ser analisada em um sistema de coordenas cartesianas, traçando