Rotação com eixo fixo

Rotação com eixo fixo
Quando o eixo de rotação de um corpo rígido permanece fixo em relação a um sistema inercial, a segunda lei de Newton será válida para as acelerações medidas no referencial do corpo rígido.
Assim sendo, a equação da aceleração de corpos rígidos permite calcular a força que atua na massa diferencial em cada ponto.

Cada uma dessas forças produz um momento em relação à origem, mas como o corpo rígido pode rodar unicamente em torno do eixo fixo , interessa unicamente calcular a componente , obtida usando unicamente a componente radial do vetor de posição:

Integrando no volume do corpo rígido obtém-se a componente do binário resultante,

A aceleração angular foi colocada fora do integral, por ser igual em todos os pontos do corpo rígido. O integral no lado direito,
}
é o momento de inércia do corpo rígido, em relação ao eixo dos .
No integral todos os momentos das forças internas de contato serão eliminados, em consequência da lei de ação e reação, ficando unicamente a soma dos momentos produzidos pelas forças externas, , , , .
Assim sendo, a equação (...)

conduz à lei da rotação com eixo de rotação fixo:

Momento de inércia
O momento de inércia I de um corpo é definido em relação a um eixo de rotação. Suponhamos, por exemplo, uma bola de massa m presa a um fio de comprimento d. Uma pessoa gira o fio e faz a bola rodar em torno de um ponto O. O momento de inércia da bola, em relação a um eixo vertical que passa por O, é dado por .

Se for um corpo extenso, é necessário subdividi-lo em pequenas porções de massas , cujas distâncias ao eixo de rotações são respectivamente . O momento de inércia do corpo subdividido em n partes, em relação ao eixo de rotação, é dado por

ou seja,

O símbolo é denominado somatória e é utilizado para indicar a soma de vários termos, todos com a mesma forma. Cada termo corresponde a um valor diferente do índice i, que pode variar de 1 a n.

Recordando, então, nas translações, as