Retas perpendiculares

Retas perpendiculares

A característica mais conhecida de duas retas perpendiculares é que no ponto de intersecção delas é formado um ângulo reto (de medida igual a 90°), mas com o estudo da geometria analítica em cima da análise da reta é possível dizer que duas retas perpendiculares terão os seus coeficientes angulares opostos e inversos.

Considere duas retas r e s, perpendiculares no ponto C, representadas em um plano cartesiano.

Considerando o ângulo de inclinação da reta s como sendo β, então o ângulo de inclinação da reta r será 90° - β. Dessa forma teremos:

Coeficiente angular da reta s: ms = tg β

Coeficiente angular da reta r: mr = tg (90° - β)
Aplicando as fórmulas de adição de arcos é possível comparar o coeficiente angular das duas retas, veja:

tg (90° + β) = sen (90° + β) = sen90° . cos β + sen β . cos β cos (90° + β) cos90° . cos β – sen 90° . sen β

tg (90° + β) = cos β -sen β

tg (90° + β) = - 1 tg β
Como ms = tg β e mr = - 1 / tg β, podemos dizer que:

ms = -1 / mr ou ms . mr = -1

Dessa forma, chegamos à conclusão de que em duas retas perpendiculares o coeficiente angular de uma das retas será igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto de intersecção de r e .

Note que: se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de

ara que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :
Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de para que seja perpendicular ao plano: