Retas parábulas elipces e hiperboles

Observemos o gráfico a seguir:

Parábola, foco e diretriz
Relacionando os pontos da parábola a seu foco e sua diretriz. Observemos o ponto e a reta , diz-se que os mesmos são o foco e a diretriz da parábola quando se estabelece a relação .
Logo abaixo do foco, o ponto é conhecido como vértice, que se estabelece como o ponto mínimo absoluto no gráfico da parábola.
A distância entre o foco e o vértice é a mesma do vértice para a diretriz, os pontos na parábola mantém a mesma distância do foco e da diretriz.
A simetria nos sugere que podemos encontrar uma relação simples para uma parábola cujo vértice está no ponto e que possui foco no ponto . Fazendo a relação de simetria temos:
;
;
.
O que nos permite fazer:

E eis nossa equação quadrática para esta parábola primária estabelecida nos eixos.
Esta relação é meramente funcional para o foco no eixo das ordenadas, se quisermos fazer uma equivalência de variáveis e estabelece-la para as abscissas teremos:

Generalizando para o plano cartesiano , temos a equação acima como um conjunto particular da equação mais geral, onde podemos observar e como a distância entre foco e vértice, considerando-o como parâmetro independente da posição, neste caso podemos escrever:

ou,

Para cada um dos casos acima, identificando como distância foco-vértice. Esta denominação nos faz pensar em uma equação independente de posição. Tomando como base o vértice, podemos dizer que, se o mesmo tem coordenada temos:

ou,

[editar]Exemplo 1 - Parâmetros da parábola
Encontrar os parâmetros da parábola:
.
Façamos a adaptação da equação para o formato que nos permita analisar os valores:
.
.

Como podemos verificar o vértice da parábola está no ponto . Uma vez que a equação representa uma função onde a variável das abscissas tem grau 2, o foco e o vértice da parábola estão no mesmo valor de e como o parâmetro , temos o valor do foco:

E a diretriz é:

[editar]Exemplo 2 - Equação da parábola