resumo

Excentricidade, diretriz e foco de uma cônica A menos do círculo (caso particular de uma elipse) uma cônica suave C tem pelo menos uma diretriz e um foco. Para construir uma diretriz, consideramos uma superfície esférica S inscrita no cone K e tangente ao plano que determina a cônica (ver Lema 3.3). S intersecta K ao longo de um círculo . Todo círculo está contido num plano, assim, seja o plano que contém .
A reta

é uma diretriz da cônica C, e o ponto é seu foco associado. Quando C é um círculo temos que é paralelo a e, assim, a diretriz não existe. A excentricidade e de uma cônica C é dada pelo quociente

Assim, temos a seguinte classificação com relação à excentricidade: se é uma hipérbole, se é uma parábola, se é uma elipse não circular, se é um círculo.
Denotaremos por a distância entre dois pontos ou, entre um ponto e uma reta ou ainda, entre duas retas.
Proposição 3.4 Se C é uma cônica suave distinta de um círculo com excentricidade e, diretriz d, e foco associado F, então

para todo ponto .
Demonstração.

(Faremos uma demonstração devido da Dandelin.) Seja o plano contendo , e seja P um ponto arbitrário em C. Escolha os pontos Q, R, e T de forma que
i) e é perpendicular ao plano , ii) e é perpendicular à reta , ii) é o ponto de dado por .
O segmento é paralelo ao eixo do cone, conseqüentemente, o segmento e o eixo do cone são perpendiculares ao plano . A reta está contida em e é perpendicular a , assim, concluímos que é perpendicular a . Considerando que também é perpendicular a , segue-se que o plano que contém os pontos , e é perpendicular à reta . Sendo uma reta contida em , temos que esse plano é perpendicular ao plano . Logo, porque é paralelo ao eixo do cone, e pela mesma razão. Assim,

Mas, pelo Lema 3.2, porque as retas e são tangentes à superfície esférica em e . Agora, porque é