Resumo Matemática

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VOLUME 1

Probabilidades e combinatória
Definição clássica de probabilidade – lei de Laplace
A probabilidade de um acontecimento A de um espaço de resultados cujos acontecimentos elementares são equiprováveis é: número de casos favoráveis à ocorrência de A p(A) = ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ número de casos possíveis
Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades
Seja E um espaço de resultados e sejam os acontecimentos A e B , tais que A ʚ E e B ʚ E .

• Axioma 1: p(A) ≥ 0 ;
• Axioma 2: p(E) = 1 ;
• Axioma 3: Se A പ B = { } (A e

B são incompatíveis), então p(A ഫ B) = p(A) + p(B) .

Teorema 1

–
–
Se A é o acontecimento contrário de A , tem-se p(A) = 1 – p(A) .

Corolário 1

Se A é o acontecimento impossível, então p(A) = 0 .

Corolário 2

Para qualquer acontecimento A , tem-se 0 ≤ p(A) ≤ 1 .

Teorema 2

Se A e B são acontecimentos, então: p(A ഫ B) = p(A) + p(B) – p(A പ B)

Dados os acontecimentos A e B de um espaço de resultados E , com p(B) ≠ 0 , chama-se probabilidade condicionada de A , dado B , e escreve-se p(A | B) , ao valor definido por: p(A പ B) p(A | B) = ᎏ p(B) Relações úteis:

• p(A പ B) = p(A | B) × p(B) = p(B | A) × p(A)

• p(A | B) =

p(B | A) × p(A)
ᎏᎏ
p(B)

Teorema da probabilidade total
Seja A um acontecimento do espaço de resultados E , assim como B1, B2, … , Bn (n acontecimentos). Se B1, B2, … , Bn são incompatíveis dois a dois e B1 ഫ B2 ഫ … ഫ Bn = E , então: p(A) = p(B1) × p(A | B1) + p(B2) × p(A | B2) + … + p(Bn) × p(A | Bn)
Acontecimentos independentes
Dois acontecimentos A e B são independentes se: p(A പ B) = p(A) × p(B)
Portanto, os acontecimentos A e B , com p(A) ≠ 0 e p(B) ≠ 0 , são independentes se só se: p(A | B) = p(A) (ou, de modo equivalente, p(B | A) = p(B) )
Tabela de distribuição de probabilidades
As probabilidades p1, p2, … , pn devem satisfazer as seguintes propriedades: • 0 < pi ≤ 1, ∀ i = 1, 2, … , n