Resumo geometria euclidiana

INTRODUÇÃO

Axiomas e teoremas esta é a estrutura da Geometria, desde "Elementos" de Euclides, escrito no século III A.C., onde ele tentou definir os conceitos fundamentais.
Atualmente, a Geometria aceita por normas:
- Enunciar, sem definição, os conceitos fundamentais.
- Admitir, sem demonstração, certas propriedades que relacionam estes conceitos, enunciando os axiomas correspondentes.
- Deduzir logicamente as propriedades restantes.
O que são os axiomas?
São afirmações tantas vezes provadas na prática, que é muito pouco provável que alguém delas duvide. Deverão ser o menor número possível.
Um sistema de axiomas deve satisfazer a três propriedades, que são: plenitude, independência e compatibilidade.
O sistema deverá ser pleno ou completo, isto é, não podemos afastar afirmações nas quais forçosamente teremos que nos basear.
Consideremos, para exemplificar, um sistema de equações do 1° grau com três incógnitas (bastante análogo a condições geométricas). Consideremos cada incógnita como um conceito sujeito a definição e cada equação um axioma.
2x – y – 2z = 3
X + y + 4z = 6
O sistema não é completo. Não podemos estabelecer os valores das incógnitas, pois o número de equações é menor que o número de incógnitas. Logo, não ocorre a plenitude. Vamos tentar corrigir, acrescentando outra equação:
2x – y – 2z = 3
X + y + 4z = 6
3x + 3y +12z = 18
Ora, a terceira equação é consequência da segunda. Não há, portanto, independência. Tentemos novamente:
2x – y – 2z = 3
X + y + 4z = 6
3x + 3y + 12z = 15
Também não serve, pois a terceira equação, dividida por 3 resulta em x + y + 4z = 5 e a segunda diz que x + y + 4z = 6. Portanto, não há compatibilidade. Finalmente temos,
2x – y – 2z = 3
X + y + 4z = 6
2x + y + 5z = 8
Fornece os seguintes valores: x = 5, y = 13 e z = - 3. O sistema é compatível, independente e completo.
2x – y – 2z = 3
10 – 13 + 6 = 3
- 3 + 6 = 3
3 = 3

X + y + 4z = 6
5 + 13 – 12 = 6
18 – 12 = 6
6 = 6

2x + y + 5z = 8